Welche Reihen sind konvergent?

Question

Aufgabe

Aufgabe 12
Welche Reihen sind konvergent? Testen Sie mithilfe eines geeigneten Kriteriums (Quotientenkriterium, Majorantenkriterium oder Minorantenkriterium). Ein Grenzwert braucht nicht angegeben zu werden.
a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{12}{k^{5}} \)
b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{3} x^{k}}{k !} \)

Answer 1

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{12}{k^{5}} \)  = \( 12\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{5}} \) Und für die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{5}} \) ist   \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \) eine

konvergente Majorante.

Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Cauchysches_Verdichtungskriterium#Anwendungsbeispiel

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^{3} x^{k}}{k !} \) ist eine Potenzreihe mit

Konvergenzradius r=∞, konvergiert also für alle x∈ℝ.