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f(x)=-x2-3x+10
g(x)= 0,5x2-0,5x-3

c) Scheitelpunktform der Funktionen und die Koordinaten der Scheitelpunkte

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Die allgemeine Scheitelpunktform lautet:

f ( x ) = a * ( x - xs ) 2 + ys

Aus dieser Form kann man die Scheitelpunktkoordinaten direkt ablesen:

S ( xs | ys )

 

Zu deinen Aufgaben:

f ( x ) = - x 2 - 3 x +10

Den Koeffizienten - 1 des quadratischen Gliedes aus den ersten beiden Summanden ausklammern:

= - ( x 2 + 3 x ) + 10

Innerhalb der Klammer quadratische Ergänzung (hier: 1,5 2 ) bestimmen, addieren und gleich wieder subtrahieren:

= - ( x 2 + 3 x + 1,5 2 - 1,5 2 ) + 10

Die ersten drei Summanden der Klammer mit Hilfe der ersten binomischen Formel als Quadrat schreiben:

= - ( ( x + 1,5 ) 2 - 1,5 2 ) + 10

Den ausgeklammerten Koeffizienten - 1 in die äußere Klammer hineinmultiplizieren:

= - ( x + 1,5 ) 2 + 1,5 2 + 10

Die beidenletzten Summanden zusammenfassen und den Ausdruck in der Klammer in die formal korrekte Scheitelpunktform bringen (es muss ein Minus hinter dem x stehen):

= - ( x - ( - 1,5 ) ) 2 + 12,25

Scheitelpunktkoordinaten ablesen:

=> S ( - 1,5 | 12,25 )

Schaubild:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-x^2-3x%2B10

 

Bei der Funktion g läuft es prnzipiell genauso, deshalb ohne weitere Kommentare:

g ( x ) = 0,5 x 2 - 0,5 x - 3

=  0,5 ( x 2 - x ) - 3

= 0,5 ( x 2 - x + 0,5 2 - 0,5 2 ) - 3

= 0,5 ( ( x - 0,5 ) 2 - 0,5 2 ) - 3

= 0,5 ( x - 0,5 ) 2 - 0,5 * 0,5 2 - 3

= 0,5 ( x - 0,5 ) 2 + ( - 3,125 )

=> S ( 0,5 | - 3,125 )

Schaubild:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=+0.5+x^2-0.5x-3

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