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1.

(1;0) und (0; i) über Q, R und C.

Die lineare Unabhängigkeit über C ist mir klar, da ich das i einfach mit -i multipliziere und somit auf 2 linear unabhängige Vektoren komme.

Aber warum auch linear unabhängig in Q und R? Da gibt es ja eigentlich gar kein i! Wird der imaginäre Teil einfach weggelassen und nur noch die 1 vor dem i stehen gelassen?

2.

Bei (1;3), (2;-6) und (e;0) über Q, R und C ist die lineare Unabhängigkeit nur in Q gegeben, weil e ∉Q ist.

Würde ich jetzt statt dem e ein i nehmen, wäre die lineare Unabhängigkeit auch in R gegeben?


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Hast du eventuell die genaue Aufgabenstellung? Mir isr nicht klar was z.B (0,i) über Q bedeuten soll. Oder soll IC²als Q-Vektorraum aufgefasst werden?
Das ist bereits leider die komplette Aufgabenstellung. (0,i) ist nur ein Vektor. Q,R,C sind die jeweiligen Körper in denen die lineare Unabhängigkeit der Vektoren geprüft werden soll. Mehr Informationen hab ich leider nicht. In der Musterlösung steht auch nur, dass bei 1. die Vektoren in allen Körpern linear unabhängig sind.

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1. Es scheint sich hier um Vektoren zu handeln und nicht um eine spezielle Darstellung von komplexen Zahlen.

(1;0) und (0; i) über Q, R und C.

Die lineare Unabhängigkeit über C ist mir klar, da ich das i einfach mit -i multipliziere und somit auf 2 linear unabhängige Vektoren komme.

Aber warum auch linear unabhängig in Q und R? Da gibt es ja eigentlich gar kein i! Wird der imaginäre Teil einfach weggelassen und nur noch die 1 vor dem i stehen gelassen?

linear unabhängig über K heisst, dass

a(1;0) + b (0; i) = (0;0)         nur mit a=b=0 gelöst werden kann. a und b dürfen aus K stammen.

Denn

a(1;0) + b (0; i) = (a; ib)           ist nur (0;0), wenn so wohl a als auch b 0 sind.

2.

Bei (1;3), (2;-6) und (e;0) über Q, R und C ist die lineare Unabhängigkeit nur in Q gegeben, weil e ∉Q ist.
 

über R

a(1;3) + b (2; -6) = 1* (e; 0) 

a+b = e

3a - 6b = 0

a = 2b   

3b = e

b = e/3

a = 2e/3            a und b in R. Daher lin. abh. über R
 

Würde ich jetzt statt dem e ein i nehmen, wäre die lineare Unabhängigkeit auch über R gegeben?

Dem würde ich zustimmen.

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