Aufgabe:
Untersuchen Sie, für welche x∈R die Funktion f : R→R gegeben durch
f(x)={∣x2−1∣x−10fu¨r x∈R∖{−1,1},fu¨r x∈{−1,1}
stetig ist.
Mein Lösungsansatz wäre:
Seif : R→R gegeben durch
f(x)={∣x2−1∣x−10fu¨r x∈R∖{−1,1},fu¨r x∈{−1,1}.
Betrachten wir als erstes die untere Teilfunktion mit dem Funktionswert f(x)=0 für alle x Element R\{-1,1}. Dabei handelt es sich um eine konstante Funktion. Das konstante Funktionen stetig sind, wurde bereits iin der Vorlesung bewiesen. Folglich ist f: R->R mit x Element {-1,1] stetig.
Betrachten wir nun die obere Teilfunktion. Hierbei handelt es sich um eine rationale Funktion bestehend aus 2 Polynomfunktionen. Mit Proposition 15.1.13 gilt, dass Polynomfunktionen und rationale Funktion überall stetig sind, wo sie definiert sind. Folglich ist die Funktion f(x)=∣x2−1∣x−1,fu¨r alle x∈R∖{−1,1} stetig.
Wäre das überhaupt eine Lösung oder habe ich etwas vergessen, worauf ich speziell nochmal eingehen sollte?
Vielen Dank im Voraus!
VG Rene