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Aufgabe:

Untersuchen Sie, für welche xRx \in \mathbb{R} die Funktion f : RRf: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} gegeben durch

f(x)={x1x21fu¨xR{1,1},0fu¨x{1,1}f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \\ 0 & \text{für } x \in \{-1, 1\} \end{cases}

stetig ist.


Mein Lösungsansatz wäre:

Seif : RRSei f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} gegeben durch
f(x)={x1x21fu¨xR{1,1},0fu¨x{1,1}.f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, \\ 0 & \text{für } x \in \{-1, 1\}. \end{cases}

Betrachten wir als erstes die untere Teilfunktion mit dem Funktionswert f(x)=0 für alle x Element R\{-1,1}. Dabei handelt es sich um eine konstante Funktion. Das konstante Funktionen stetig sind, wurde bereits iin der Vorlesung bewiesen. Folglich ist f: R->R mit x Element {-1,1] stetig.

Betrachten wir nun die obere Teilfunktion. Hierbei handelt es sich um eine rationale Funktion bestehend aus 2 Polynomfunktionen. Mit Proposition 15.1.13 gilt, dass Polynomfunktionen und rationale Funktion überall stetig sind, wo sie definiert sind. Folglich ist die Funktion f(x)=x1x21,fu¨r alle xR{1,1}f(x) = \frac{x - 1}{|x^2 - 1|}, \quad \text{für alle } x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} stetig.


Wäre das überhaupt eine Lösung oder habe ich etwas vergessen, worauf ich speziell nochmal eingehen sollte?

Vielen Dank im Voraus!

VG Rene

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

f(x)={x1x21fu¨xR{1;1}0fu¨x{1;1}f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x-1}{|x^2-1|} & \text{für }x\in\mathbb R\setminus\{-1;1\}\\[1ex]0 & \text{für } x\in\{-1;1\}\end{array}\right.Wir wollen zunächst das Betragszeichen loswerden:x<1x>1    x2>1    x21>0    f(x)=x1x21=1x+1x<-1\lor x>1\implies x^2>1\implies x^2-1>0\implies f(x)=\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}x(1;1)    x2<1    x21<0    f(x)=x1(x21)=1x+1x\in(-1;1)\implies x^2<1\implies x^2-1<0\implies f(x)=\frac{x-1}{-(x^2-1)}=\frac{-1}{x+1}Das liefert uns die Zerlegung:f(x)={1x+1fu¨x<10fu¨x=11x+1fu¨1<x<10fu¨x=11x+1fu¨x>1f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{x+1} & \text{für }x<-1\\[1ex]0 & \text{für } x=-1\\[1ex]\frac{-1}{x+1} & \text{für }-1<x<1\\[1ex]0 & \text{für }x=1\\[1ex]\frac{1}{x+1} & \text{für }x>1\end{array}\right.

Dass ±1x+1\frac{\pm1}{x+1} in dem jeweiligen Definitionsbereich stetig sind, ist klar [Proposition 15.1.13 ;)].

Die kritischen Stellen sind die Übergänge bei x0=1x_0=-1 und x1=1x_1=1.

Damit eine Funktion an einer Stelle x0x_0 stetig ist, muss sie für alle Richtungen aus denen man sich x0x_0 nähern kann, denselben Funktionswert ergeben. Im 1-dimensionalen Fall gibt es nur zwei Richtungen, du kannst dich von links x<x0x<x_0 oder von rechts x>x0x>x_0 nähern.

Die Bedinung für Stetigkeit bei x0=1x_0=-1 lautet daher:limx1f(x)=!f(1)=!limx1f(x)\lim\limits_{x\nearrow-1}f(x)\stackrel!=f(-1)\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow-1}f(x)Aber wir findenlimx11x+10limx11x+1\underbrace{\lim\limits_{x\nearrow-1}\frac{1}{x+1}}_{\to-\infty}\ne0\ne\underbrace{\lim\limits_{x\searrow-1}\frac{-1}{x+1}}_{\to-\infty}Die Funktion ist also unstetig bei x0=1x_0=-1

Für x1=1x_1=1 liegt Stetigkeit vor, wenn die folgende Forderung erfüllt ist:limx1f(x)=!f(1)=!limx1f(x)\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)\stackrel!=f(1)\stackrel!=\lim\limits_{x\searrow1}f(x)Wir finden aber auch hier:limx11x+1=120limx11x+1=12\underbrace{\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{-1}{x+1}}_{=-\frac12}\ne0\ne\underbrace{\lim\limits_{x\searrow1}\frac{1}{x+1}}_{=\frac12}Die Funktion ist also auch unstetig bei x1=1x_1=1.

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Hallo :)

vielen vielen Dank für diese ausführliche Erklärung! Das hat mir sehr geholfen für mein Problem/ Verständnis!

VG Rene

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x2-1 =(x+1)(x-1)

Fallunterscheidung und kürzen

1. x2-1 >0

2. x2-1 <0

https://www.mathelounge.de/1049714/untersuchen-sie-auf-stetigkeit

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