Für alle rechtwinkligen Dreiecke mit Hypotenuse c und Katheten a, b gilt: c < a+b .

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle rechtwinkligen Dreiecke mit Hypotenuse c und Katheten a, b gilt: c < a+b .

Problem/Ansatz:

Könnte mir hier jemand bei einem Beweisansatz helfen?

Danke!

Answer 1

Der Satz gilt ja nicht nur für rechtwinklige Dreiecke, sondern laut Dreiecksungleichung für alle Dreiecke (Seitenlängen a, b und c), deren längste Seitenlänge mit c bezeichnet wird. Es genügt der Hinweis, dass die Hypotenuse längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist und dass im übrigen die Dreiecksungleichung gilt.

Ohne Rückgriff auf die Dreiecksungleichung:

Da a>0 und b>0 gilt

0<2ab und dann

a²+b²<a²+2ab+b²

a²+b²<(a+b)²

$\sqrt{a^2+b^2}$<a+b

c<a+b

Comments

Es genügt der Hinweis, dass die Hypotenuse längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist

womöglich noch begleitet von einem Hinweis auf die Nützlichkeit des Hinweises.