Es reicht aus, so eine Funktion auf dem Intervall \([0,1]\) anzugeben, denn ein beliebiges Intervall \([a,b]\) kann durch \(x\mapsto \frac{x-a}{b-a}\) stetig auf \([0,1]\) transformiert werden.
Wir betrachten also im Weiteren nur \([0,1]\).
Definiere nun
$$f(x) = \left\{\begin{array}{ccl} \left(x-\frac 1{n+1}\right) \left(x-\frac 1n\right)& \text{für} & x\in \left[\frac 1{n+1}, \frac 1n\right], n\in\mathbb N \\ 0 & \text{für} &x= 0\end{array} \right.$$
Die ersten 4 Graphenstücke für \(n=1,\ldots , 4\) siehst du hier.
Das sind aneinandergeklebte Parabelbögen, die immer flacher werden.
