Linear Abhängigkeit, t zu finden

Question

Text erkannt:

Aufgabe 3-2 3P
Man untersuche für welche $t \in \mathbb{R}$ die Vektoren $v_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 4\end{array}\right), \quad v_{2}=\left(\begin{array}{c}3 \\ t \\ 2\end{array}\right), \quad v_{3}=\left(\begin{array}{l}4 \\ 6 \\ 6\end{array}\right)$ in $\mathbb{R}^{3}$ linear abhängig sind.

Answer 1

Aloha :)

Wenn die drei Vektoren linear abhängig sind, kann man einen von ihnen als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben. Das heißt, bei linearer Abhängigkeit liegen die 3 Vektoren in einer Ebene und das von ihnen aufgesapnnte 3-dimensionale Volumen ist glech Null.

Über das Volumen, das drei Vektoren aufspannen, gibt ihre Determinante Auskunft, genauer gesagt der Betrag der Determinante. [Das Vorzeichen der Determinante gibt an, ob die Vektoren ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden. Das ist hier aber nicht wichtig.]

Wir suchen hier also alle Werte von $t$, bei denen die Determinante aus den 3 Vektoren verschwindet:

$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\-3 & t & 6\\4 & 2 & 6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}\pink1 & \pink3 & \pink4\\-3+\green3\cdot\pink1 & t+\green3\cdot\pink3 & 6+\green3\cdot\pink4\\4-\blue4\cdot\pink1 & 2-\blue4\cdot\pink3 & 6-\blue4\cdot\pink4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\0 & t+9 & 18\\0 & -10 & -10\end{array}\right|$$$$\phantom0=\pink{(-10)}\cdot\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\0 & t+9 & 18\\0 & \pink1 & \pink1\end{array}\right|=(-10)\cdot\left|\begin{array}{cc}t+9 & 18\\1 & 1\end{array}\right|=(-10)\cdot(t+9-18)$$$$\phantom0=(-10)\cdot(t-9)$$

Für $t=9$ spannen die 3 Vektoren kein 3-dimensionales Volumen auf und sind daher linear abhängig.

PS: Wenn du die Determinante noch nicht kennen gelernt hast, kannst du das von den 3 Vektoren aufgespannte Volumen auch mit dem Spatprodukt $\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$ berechnen.

Answer 2

Hallo

die Antwort ist die selbe, wie für deine andere Anfrage. (Kontrolle: t=9)

Sag bitte genauer, was du nicht kannst!

lul

Comments

Hallo,

Ich kann die Unterschied zwichen diese nicht verstehen:

v1 = bv2+cv3 und av1+bv2+cv3=0

Wenn v1 linear abhängig von v2 und v3 ist, bedeutet das dass alle drei vektoren sind linear abhängig? Dann soll ich nur die ertse Gleichung nutzen, um t zu finden?

Danke!

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Hallo

für a≠0 kann man die eine Gleichung in die andere umformen,

deshalb kannst du auch die erste benutzen es sei denn v2 und v3 sind proportional.

Gruß lul

Answer 3

Schreibe die Vektoren nebeneinander in eine Matrix.

Bestimme die Determinante der Matrix. (z.B mit der Regel von Sarrus)

Du erhältst eine Gleichung die du nach t umstellst und setze den Wert anschließend in die Matrix ein.

Ist die Determinante =0, so sind die Vektoren linear abhängig. Ist sie ≠0, so sind die Vektoren linear unabhängig.

Answer 4

Determinante gleich Null setzen und nach t auflösen.

DET([1, 3, 4; -3, t, 6; 4, 2, 6]) = 10·(9 - t) = 0 → t = 9

Comments

Ich kann die Unterschied zwichen diese nicht verstehen:

v1 = bv2+cv3 und av1+bv2+cv3=0

Die zweite Bedingung ist die richtige

a·v1 + b·v2 + c·v3 = 0

Gibt es hier eine Lösung ungleich a = b = c = 0 sind die Vektoren linear abhängig.

Die zweite Bedingung

v1 = b·v2 + c·v3

hat noch die Vorbedingung, dass v2 und v3 selber linear unabhängig sein müssen. Das sieht man aber in der Regel, sodass du selber in deiner Aufgabe sehen solltest, dass die drei Vektoren paarweise linear unabhängig sind.

Wenn du das allerdings nicht siehst, würde man die zweite Bedingung nicht wählen.

Answer 5

Hier noch kurz eine andere Methode mit weniger Rechenaufwand.

$v_1,v_2,v_3$ sind linear unabhängig genau dann, wenn die Matrix

$A=\begin{pmatrix} v_1 & v_2 & v_3\end{pmatrix}$

vollen Rang hat.

Mit zwei Zeilenoperationen erhalten wir sofort

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ -3 & t & 6 \\ 4 & 2 & 6\end{pmatrix}\stackrel{(2)+3(1),(3)-4(1)}{\longrightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & t+9 & 18 \\ 0 & -10 & -10\end{pmatrix}$

$\stackrel{-\frac 1{10}(3)}{\longrightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & t+9 & 18 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$

Zeilen (2) und (3) sind offenbar genau dann linear abhängig, wenn

$t+9=18\Leftrightarrow t=9$.

Answer 6

Oder man sieht sofort $v_1+v_2=v_3$ für $t=9$. Ganz ohne Matrix und Determinante. Man beachte die erste und dritte Koordinate.

Manchmal kann ein scharfer Blick also schon die Lösung sein. ;)

Comments

Das ist eine Lösung. Der Anfänger sollte sich fragen, ob es auch noch weitere geben kann und ggf. gibt. Dazu müsste man schon sehr scharf hinsehen ;-)