lineare abhängigkeit: wieso sind drei vektoren im R² stets linear abhängig?

Question

Wieso sind drei oder mehr Vektoren im R² immer linear abhängig und analog im R³ vier oder mehr Vektoren auch immer linear abhängig?

Wenn ich im R³  drei Vektoren habe und diese linear abhängig sind, dann sind die Vektoren komplanar und  parallel zu einer Ebene. Vier Vektoren sind ja laut der Aussage oben im R³ immer parallel zu einer Ebene. Warum ist das so?

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Vier Vektoren sind ja laut der Aussage oben im R^3 immer parallel zu einer Ebene. Warum ist das so?

Das ist nicht so!  

Answer 1

Drei Vektoren sind linear unabhängig wenn sie einen dreidimensionalen Raum aufspannen.

Im R2 kann aber nur ein zweidimensionaler Raum aufgespannt werden. Daher  müssen drei Vektoren linear abhängig sein.

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Im R2 kann aber nur ein zweidimensionaler Raum aufgespannt werden. Daher  müssen drei Vektoren linear abhängig sein.

Im R² brauche ich zwei linear unabhängige Vektoren, um alle Punkte der Ebene zu erreichen. Also zwei Vektoren im R² sind linear unabhängig wenn sie keine Vielfache voneinander sind. Linear abhängige Vektoren sind Vielfache voneinander und man kann nur Punkte auf einer Geraden darstellen. Soweit ist mir das klar.

Warum aber sind drei Vektoren im R² linear abhängig? Kannst du mir das vll. mal an einem Rechenbeispiel erklären?

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Zwei lineare unabhängige Vektoren spannen eine Ebene auf. Das hast du ja bereits gesehen. Zwei linear abhängige Vektoren spannen nur eine Gerade auf.

Drei linear unabhängige Vektoren müssen einen Raum aufspannen.

Im R2 was ja eine Ebene ist kannst du keinen Raum aufspannen. Im R2 kann es daher nur maximal 2 linear unabhängige Vektoren geben.

Im R3 gibt es daher auch nur maximal 3 linear unabhängige Vektoren.

Nimm z.B. im R2 einfach [1, 0] und [0, 1] als linear unabhängige Vektoren. Damit kannst du aber bereits jeden Punkt im R2 darstellen. Demzufolge muss jeder weitere Vektor im R2 linear abhängig sein und sich durch die beiden ersten darstellen lassen.

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Klingt logisch :)

Eine Frage habe ich noch. Wenn drei Vektoren im R² immer linear abhängig sind, müssen das dann drei verschiedene Vektoren sein oder dürfen zwei oder sogar alle drei Vielfache voneinander sein?

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Egal, welche drei Vektoren (es dürfen also auch Vielfache voneinander sein) des ℝ² du nimmst, sie sind immer linear abhängig.

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Das ist egal welche Vektoren. Und wenn du einen Nullvektor dabei hast dann sind die Vektoren eh immer abhängig.

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ok.

Ich nehme mal die Vektoren [1,0] und [2,1] und den Nullvektor [0,0]. Diese sind doch linear unabhängig oder sehe ich das falsch?

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Das siehst du falsch. Eine Vektormenge {  \(\overrightarrow{0}\), \(\vec{a}\) , \(\vec{b}\) , \(\vec{c}\) .... }, die den Nullvektor enthält, ist immer linear abhängig, da sich letzterer immer als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt:

 \(\overrightarrow{0}\)  =  0 * \(\vec{a}\) + 0 * \(\vec{b}\) + 0 * \(\vec{c}\) + ....

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Alles klar.

Auf deine Anwesenheit hier im Forum kann man sich ja auch noch in den späten AbendStunden verlassen :)

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Wenn es für dich mal "existenzwichtig" sein sollte, solltest du dich nicht unbedingt darauf verlassen :-)

Aber ja, ich bin ein "Nachtmensch". (Im Gegensatz zu Mathecoach, der ist allgegenwärtig :-))

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Prima :D

Eine letzte Frage noch.

Eine Vektormenge, die den Nullvektor enthält, ist immer linear abhängig, da sich letzterer immer als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.

0 = 0*a+0*b+0*c+...

Aber wenn man als Lösung nur die triviale Lösung 0,0,0 erhält sind die Vektoren doch linear unabhängig?

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Mit a, b, und c sind natürlich Vektoren gemeint.

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Aber wenn man als Lösung nur die triviale Lösung 0,0,0 erhält sind die Vektoren doch linear unabhängig?

Dann gehört der Nullvektor allerdings nicht zu den betrachteten Vektoren.

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Hi, ich bin zwar nicht der Fragesteller aber, gilt nicht, dass zwei Vektoren linear unabhängig sind, wenn sie keine Vielfache voneinander sind? Davon müsste man doch unendlich viele im R^2 finden können.

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Hallo Eichhörnchen,

"Lineare Unabhängigkeit" ist keine Eigenschaft einzelner Vektoren sondern eine Eigenschaft einer Menge von Vektoren.

Und bei den unendlich vielen zweielementigen linear unabhängigen Vektormengen im ℝ² lässt sich bei keiner ein dritter Vektor finden, so dass die dreielementige Vektormenge linear unabhängig wäre.

Die leider übliche Sprechweise "\(\vec{a}\) und  \(\vec{b}\) sind linear unabhängig" ist eine der vielen Misshandlungen der deutschen Sprache durch die Mathematikergemeinde.

Hier ist die Vektormenge { \(\vec{a}\) , \(\vec{b}  \) } linear unabhängig.

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Hi, vielen Dank für deine Antwort @Wolfgang :)

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wenn ich vier Vektoren a,b,c,d im 3 dimensionalen Raum habe und die Vektoren a,b und c den 3 dimensionalen Raum aufspannen und d sagen wir zum Beispiel zu a parallel verläuft, warum sind die vier Vektoren linear abhängig? Es ist doch unmöglich mit den Vektoren a, b und d den Vektor c darzustellen.

Bitte um Hilfe bei meinem Gedankenfehler.

Vielen Dank

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Eine Menge von Vektoren (hier {a,b,c,d}) ist genau dann linear abhängig, wenn sich mindestens einer (hier z.B. d)  als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

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Guten Morgen Wolfgang,

vielen, vielen Dank. Auf das „mindestens einer“ kommt es an.

Hab’s verstanden