Bestimmen Sie den größten gemeinsamen Teiler von f und g?

Question

Seien \( f=4 X^{8}+10 X^{6}+X^{4}+8 X^{2}+4 \in \mathbb{F}_{13}[X] \) und \( g=2 X^{6}+3 X^{4}+8 X^{2} \in \mathbb{F}_{13}[X] \) Polynome über \( \mathbb{F}_{13} \).
Bestimmen Sie \( \operatorname{ggT}(f, g) \), den größten gemeinsamen Teiler von \( f \) und \( g \).

Answer 1

Euklid. Algorithmus ergibt (Besser mal nachrechnen !)  :

\( (4 X^{8}+10 X^{6}+X^{4}+8 X^{2}+4)=(2X^2+2)(2 X^{6}+3 X^{4}+8 X^{2})+5 X^{4}+5X^{2}+4 \)

\( 2 X^{6}+3 X^{4}+8 X^{2} = (3X^2+8)(5 X^{4}+5X^{2}+4)+8X^{2}+7 \) 

\( 5 X^{4}+5X^{2}+4=12X^2(8X^{2}+7)+12X^{2}+4\)

\( 8X^{2}+7=5(12X^{2}+4) + 0\)

Also wäre der ggT = \( 12X^{2}+4\)