den größten gemeinsamen Teiler findet man über den euklidischen Algorithmus angewandt auf Polynome heraus (mittels Polynomdivision):
\( (f, g) = (X^3+8, X^2-X-6) = (X+2, X^2-X-6) = (X+2, 0) \).
Dass die Charakteristik des Körpers nicht \( 7 \) ist, benutzt man dabei beim Rest der allerersten Polynomdivision \( f : g \). (Beim Rest müsstest du auf \( 7X + 14 = 7(X+2) \) kommen.)
Der größte gemeinsame Teiler ist also \( X+2 \), wenn wir formal mal annehmen, dass jede Zahl die Null teilt.
Es ist also \( f = (X^2 - 2X + 4) (X + 2) \) und \( g = (X - 3)(X + 2) \) mit dem größten gemeinsamen Teiler \( X + 2 \) von \( f \) und \( g \).
Es ist gefordert \( f(\varphi) = 0 \) und \( g(\varphi) = 0 \). Diese Bedingung kann nur auf gemeinsamen Teilern von \( f \) und \( g \) erfüllt sein. Da der größte gemeinsame Teiler von \( f \) und \( g \) lediglich linear ist und der Nullstelle \( X_0 = -2 \) entspricht, ist \( \varphi \) eindeutig durch
\( \varphi = - 2 \text{id} \)
festgelegt.
Mister
