Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums. Größten gemeinsamen Teiler berechnen

Question

Habe schon nach ähnlichen Aufgaben gesucht aber nichts gefunden. Ich verstehe nicht, wie das zu berechnen ist.

Answer 1

den größten gemeinsamen Teiler findet man über den euklidischen Algorithmus angewandt auf Polynome heraus (mittels Polynomdivision):

$(f, g) = (X^3+8, X^2-X-6) = (X+2, X^2-X-6) = (X+2, 0)$.

Dass die Charakteristik des Körpers nicht $7$ ist, benutzt man dabei beim Rest der allerersten Polynomdivision $f : g$. (Beim Rest müsstest du auf $7X + 14 = 7(X+2)$ kommen.)

Der größte gemeinsame Teiler ist also $X+2$, wenn wir formal mal annehmen, dass jede Zahl die Null teilt.

Es ist also $f = (X^2 - 2X + 4) (X + 2)$ und $g = (X - 3)(X + 2)$ mit dem größten gemeinsamen Teiler $X + 2$ von $f$ und $g$.

Es ist gefordert $f(\varphi) = 0$ und $g(\varphi) = 0$. Diese Bedingung kann nur auf gemeinsamen Teilern von $f$ und $g$ erfüllt sein. Da der größte gemeinsame Teiler von $f$ und $g$ lediglich linear ist und der Nullstelle $X_0 = -2$ entspricht, ist $\varphi$ eindeutig durch

$\varphi = - 2 \text{id}$

festgelegt.

Mister