Wie zeigt man die Konvergenz des Restgliedes gegen 0?

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Aufgabe a) und b) habe ich soweit gelöst. Ich weiß leider nur nicht so ganz wie ich bei Aufgabe c) vorgehen soll.

Das Restglied lässt sich ja durch (f^(n+1) (xi))/(n+1)! * (x - x0)^(n+1) darstellen. Ich finde aber keinen Ansatz um zu zeigen das das Restglied gegen 0 konvergiert. Um ehrlich zu sein verstehe ich auch nicht was mit x in (-1, 1) gemeint ist. Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch :( Könntet Ihr mir vielleicht einen Lösungsansatz vorstellen, mit Hilfe dessen ich die Aufgabe lösen kann?

Ich würde mich wirklich riesig auf eure Antworten freuen! Ich bedanke mich schon mal im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen!

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Beim Entwicklungspunkt 0 bedeutet

x in (-1, 1),

dass der Konvergenzradius 1 ist (und es nur an beiden Grenzen nicht konvergieren muss).

Answer 1

Der Ausdruck \( x \in (-1;1) \) bedeutet, dass \( x \) aus dem offenen Intervall \( (-1;1) \) ist. Es gilt also \( |x|<1 \) und dann geht der Faktor \( x^{n+1}\) im Restglied gegen 0 (es ist ja \( x_0=0 \)).

Setze dich mit mathematischen Notationen auseinander. Es ist ganz schlecht, wenn man nicht weiß, wie man offene Intervalle schreibt..

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Vielen Dank für deine Antwort!

Aber wieso genau würde man jetzt mit dem Betrag weiter arbeiten?

Mit freundlichen Grüßen

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Musst du nicht, aber \( x^{n+1} \) geht nun mal gegen 0, wenn \( |x|<1 \), was aber gleichbedeutend damit ist, dass \( x \in (-1;1) \).

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Könnte ich dann aber auch den Beweis damit durchführen?

Im Sinne von: |x| < 1 und somit würde das Restglied gegen 0 streben und dadurch wäre es gezeigt das lim \( \lim\limits_{n\to\infty} \) R_n (x) = 0 ist?

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Das ist ja genau das, was zu zeigen ist, dass das Restglied nur dann gegen 0 konvergiert, wenn \( x\in(-1;1)\). Genau aus dem von mir genannten Grund.

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Achso ok, vielen Dank!

Ich war nur bis eben noch sehr verwirrt aber das hat mir sehr geholfen danke dir!

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Sehr gerne. :)

Answer 2

Schaffst du im Restglied x0 durch 0 und f^{(n+1)}(xi) durch die eigentliche Funktion zu ersetzen und dann zu vereinfachen?

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Ich komme dann auf:

\( \frac{x^{(n+1)}}{(2-ξ)^{(n+2)}} \) + \( \frac{x^{(n+1)}*(-1)^{(n+1)}}{(2+ξ)^{(n+2)}} \)

Das sollte passen oder?

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Ich mache \( \frac{xn+1}{(2-ξ)n+2} \) + \( \frac{xn+1 *(-1)n+1 }{(2+ξ)n+2} \) mal lesbar

\( \frac{x^{n+1}}{(2-ξ)^{n+2}}\) + \( \frac{x^{n+1}*(-1)^{n+1} }{(2+ξ)^{n+2}} \)

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Es gibt "\cdot" für die Multiplikation.

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Prima Checkchecker.cc

Kannst du mir jetzt sagen was mit den Zählern und Nennern der Brüche passiert, wenn n --> ∞ geht?

Beachte dabei, dass -1 < x < 1 gilt.

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Mittlerweile habe ich es auch verstanden :D

Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!