Zeigen Sie, dass • eine Gruppenstruktur auf Abb(M,G) ist.

Question

Sei M eine Menge und (G, ·, e) eine Gruppe. Sei weiter Abb(M,G) die Menge aller Abbildungen von M nach G. Für je zwei Abbildungen f, g : M → G sei die Abbildung f • g definiert durch f • g(x) := f (x) · g(x) für alle x ∈ M. Zeigen Sie, dass • eine Gruppenstruktur auf Abb(M,G) ist.

Mein Ansatz:

Um zu zeigen, dass • eine Gruppenstruktur auf Abb(M, G) ist, müssen wir die vier Gruppenaxiome überprüfen: Assoziativität, Existenz eines neutralen Elements, Existenz von Inversen und Abgeschlossenheit.

1. **Assoziativität:** Für alle f, g, h ∈ Abb(M, G) muss gelten: (f • g) • h = f • (g • h). Dies folgt aus der Assoziativität in der Gruppe (G, ·, e).

2. **Neutrales Element:** Es existiert eine Abbildung e ∈ Abb(M, G), so dass für alle f ∈ Abb(M, G) gilt: e • f = f • e = f. Das neutrale Element e ist die konstante Abbildung, die jedes Element in G auf das neutrale Element e in der Gruppe G abbildet.

3. **Existenz von Inversen:** Für jede Abbildung f ∈ Abb(M, G) gibt es eine Abbildung g ∈ Abb(M, G), so dass f • g = g • f = e. Das Inverse von f ist die Abbildung, die jedes Element auf das Inverse von f(x) in der Gruppe G abbildet.

4. **Abgeschlossenheit:** Die Verknüpfung • ist abgeschlossen in Abb(M, G), da das Produkt von Abbildungen aus M nach G wieder eine Abbildung von M nach G ist.

Wie bestimmt man die einzelnen Punkte also wie zeigt man das genau

Answer 1

1. **Assoziativität:** Für alle f, g, h ∈ Abb(M, G) muss gelten: (f • g) • h = f • (g • h). Dies folgt aus der Assoziativität in der Gruppe (G, ·, e).

Das muss man wohl etwas genauer begründen, etwa so:

Seien f, g, h ∈ Abb(M, G) . Dann gilt nach Def. von • für alle x∈M

 ((f • g) • h)(x)

= (f • g)(x)  · h(x)

= (f(x) · g(x)  )  · h(x) und wegen Assoziativ. in G

= f(x) · ( g(x)   · h(x) )   und wieder die Def.

= f(x) ·  (g • h) (x)   und wieder die Def.

= ( f •  (g • h) ) (x)

Weil nun die Abbildungen (f • g) • h   und   f • (g • h)  gleiche Definitions- und

Zielbereiche haben und für alle x∈M gleiche Werte haben, sind sie gleich.

Also   (f • g) • h = f • (g • h)    q.e.d.

2. **Neutrales Element:** Es existiert eine Abbildung e ∈ Abb(M, G), so dass für alle f ∈ Abb(M, G) gilt: e • f = f • e = f. Das neutrale Element e ist die konstante Abbildung, die jedes Element in G  Hier muss es wohl heißen:  in M.

auf das neutrale Element e in der Gruppe G abbildet.

Comments

Und die anderen Punkte

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Das war doch schon ganz gut so. Man könnte es eventuell noch

genauer auf den Punkt bringen, etwa bei:

"Es existiert eine Abbildung e ∈ Abb(M, G), so dass für alle f ∈ Abb(M, G) gilt: e • f = f • e = f. Das neutrale Element e ist die konstante Abbildung, die jedes Element in G auf das neutrale Element e in der Gruppe G abbildet."

Da würde ich z.B. für die neutrale Abb. einen anderen Namen ( z.B. E)

wählen und sagen: Betrachte E:M→G mit E(x)=e für alle x∈M.

Dann gilt für alle f∈ Abb(M, G)   E•f=f ;  denn für alle x∈M gilt

(E•f)(x)=E(x)·f(x) = e·f(x) = f(x).

Und entsprechend auch f•E=f.

Auch bei dem Inversen könntest du das durch genaue Angabe der

Abbildung so darstellen. Die eigentliche Idee hast du ja angegeben.

Der Rest ist doch ganz OK.