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f(x)=∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!(x2)2n+1 f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1}
ist für alle reellen x x definiert und erfüllt die Gleichung
x2f′′(x)+xf′(x)+(x2−1)f(x)=0 x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+\left(x^{2}-1\right) f(x)=0

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Konvergenzradius erhältst du durch

lim⁡n→∞∣anan+1∣=lim⁡n→∞∣(−1)n(n+1)!n!⋅(n+2)!(n+1)!(−1)n+1∣ \lim\limits_{n \to \infty} | \frac{a_n}{a_{n+1}} | = \lim\limits_{n \to \infty} | \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !} \cdot \frac{(n+2) ! (n+1) !}{(-1)^{n+1}}|

=lim⁡n→∞(n+2)!(n+1)!(n+1)!n!=lim⁡n→∞n+21=∞ = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n+2) ! (n+1) !}{(n+1) ! n !} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+2}{1} = \infty

Also ist die Funktion für alle x∈ℝ definiert.

Ableitungen bekommst du durch Ableitung der Summanden in der

Potenzreihe, also so

f(x)=∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!(x2)2n+1 f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1}

==> f′(x)=∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)(x2)2n⋅12 f'(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2}

=12+∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)(x2)2n⋅12= \frac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2}

==> f′′(x)=∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)(2n)(x2)2n−1⋅14 f''(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)(2n)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4}

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Reichen die Tipps nicht ? Dann mal ausführlich:

x2f′′(x)+xf′(x)+(x2−1)f(x)=0 x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)+\left(x^{2}-1\right) f(x)=0

Kannst du ja zeigen in der Form

 x2f′′(x)+xf′(x)=(1−x2)f(x) x^{2} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\left(1-x^{2}\right) f(x)   #

Für die linke Seite gibt es beim Einsetzen zunächst mal

x2f′′(x)=x2∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)(2n)(x2)2n−1⋅14 x^{2} f^{\prime \prime}(x)=x^2\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)(2n)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4}

=x2∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(4n2+2n)x2n−1⋅14⋅22n−1 =x^2\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(4n^2+2n)x^{2 n-1}\cdot \frac{1}{4\cdot 2^{2n-1}}

=∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(4n2+2n)x2n+1⋅122n+1 =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! }(4n^2+2n)x^{2 n+1}\cdot \frac{1}{ 2^{2n+1}}

=∑n=1∞(−1)n(4n2+2n)(n+1)!n!22n+1x2n+1 =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+2n)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

und für den 2. Summanden:

xf′(x)=x(12+∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)(x2)2n⋅12) x f^{\prime}(x)=x( \frac{1}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n}\cdot \frac{1}{2} )

=x2+x∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)x2n⋅12⋅22n=\frac{x}{2} + x\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)x^{2 n}\cdot \frac{1}{2\cdot 2^{2n}}

=x2+∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!(2n+1)x2n+1⋅122n+1=\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}(2n+1)x^{2 n+1}\cdot \frac{1}{2^{2n+1}}

=x2+∑n=1∞(−1)n(2n+1)(n+1)!n!22n+1x2n+1=\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}

Also gibt die linke Seite von #

=∑n=1∞(−1)n(4n2+2n)(n+1)!n!22n+1x2n+1+x2+∑n=1∞(−1)n(2n+1)(n+1)!n!22n+1x2n+1 =\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+2n)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} +\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}

=x2+∑n=1∞(−1)n(4n2+4n+1)(n+1)!n!22n+1x2n+1 =\frac{x}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(4n^2+4n+1)}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1}}x^{2 n+1}

Und die rechte Seite von # gibt

(1−x2)f(x)=(1−x2)∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!(x2)2n+1 \left(1-x^{2}\right) f(x) = \left(1-x^{2}\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n !}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 n+1}

=(1−x2)∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1 = \left(1-x^{2}\right) \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

=∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1−x2∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1 = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} -x^2 \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

=∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1−∑n=0∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+3 = \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} - \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+3}

Bei der 1. Summe den 1. Summanden extra schreiben und bei der

2. eine Indexverschiebung gibt

=x2+∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1−∑n=1∞(−1)n−1n!(n−1)!22n−1x2n+1 =\frac{x}{2}+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} - \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n! (n-1) ! 2^{2n-1} }x^{2 n+1}

=x2+∑n=1∞(−1)n(n+1)!n!22n+1x2n+1+∑n=1∞(−1)n4n(n+1)n!(n+1)!22n+1x2n+1 =\frac{x}{2}+ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(n+1) ! n ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}4n(n+1)}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

=x2+∑n=1∞(−1)n(1+4n(n+1))n!(n+1)!22n+1x2n+1 =\frac{x}{2} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(1+4n(n+1))}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

=x2+∑n=1∞(−1)n(1+4n2+4n)n!(n+1)!22n+1x2n+1 =\frac{x}{2} +\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(1+4n^2+4n)}{n! (n+1) ! 2^{2n+1} }x^{2 n+1}

Also in der Tat_  Beide Seiten gleich. q.e.d.

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Hallo

für alle x definiert heisst der Konvergenzradius ist unendlich,

den 2 ten Teil einfach ausrechnen, also f' und f'' bestimmen  und einsetzen.

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