die erste Ableitung folgender Funktionen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen. Geben Sie dabei auch den Lösungsweg an.
b.) \( f(x)=\sin \left(\sqrt{x^{2}+b}\right) ; b \in \boldsymbol{R} \)
d.) \( f(t)=\cos ((a+\pi) \cdot t) ; a \in \boldsymbol{R} \)

Comments

https://www.ableitungsrechner.net/

Kettenregel anwenden.

sin(term) wird zu cos(term)* term'

Schreibe √(x^2+b) als (x^2+b)^(1/2)

Answer 1

1)

f(x) = SIN((x^2 + b)^(1/2))

Ableitung mittels Kettenregel

f'(x) = COS((x^2 + b)^(1/2)) * [(x^2 + b)^(1/2)]'

f'(x) = COS((x^2 + b)^(1/2)) * 1/2 * (x^2 + b)^(- 1/2) * [x^2 + b]'

f'(x) = COS((x^2 + b)^(1/2)) * 1/2 * (x^2 + b)^(- 1/2) * 2 * x

f'(x) = COS((x^2 + b)^(1/2)) * 1/2 * (x^2 + b)^(- 1/2) * 2 * x

f'(x) = x·COS(√(x^2 + b)) / √(x^2 + b)

2)

f(t) = COS((a + pi)·t)

f'(x) = - SIN((a + pi)·t) * [(a + pi)·t]'

f'(x) = - SIN((a + pi)·t) * (a + pi)

f'(x) = - (a + pi) * SIN((a + pi)·t)

Comments

Kleiner Tipp. Benutze auch den http://www.ableitungsrechner.net zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Vor allem, um meine Ergebnisse nochmals zu kontrollieren.

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Text erkannt:

b)
\( \begin{aligned} f(x) & =\sin \left(\sqrt{x^{2}+b}\right) \quad ; b \in \mathbb{R} \\ & =\sin \left(x^{2}+b\right)^{1 / 2} \end{aligned} \)
\( \begin{array}{l} \Rightarrow \text { Kettenregel: } i=x^{2}+b \rightarrow i^{\prime}=2 x \\ a=(i)^{1 / 2} \rightarrow a^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot(i)^{-1 / 2} \\ =\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(i)} \\ \end{array} \)
\( f^{\prime}(x)=\cos \cdot\left(2 x \cdot \frac{1}{2 \cdot\left(x^{2}+b\right)}\right) \)
\( = \)

So sah mein Ansatz aus. Ich verstehe nicht warum bei dir (x^2+b) zwei mal auftaucht liegt es daran das ich sin(…) einzelnd ableite und nochmal (x^2+b)^1/2 einzelnd ableite ?

f'(x) = COS((x2 + b)^(1/2)) * [(x2 + b)^(1/2)]'

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Die Kettenregel lautet Schülerhaft: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.

Wichtig dabei ist das bei der äußeren Ableitung die Innere Funktion unangetastet bleibt.

Schau dir dazu gerne nochmals ein Video mit Beispielen an.

Das bedeutet wenn du den SIN zum COS ableitest dann bleibt das Argument dabei exakt so wie es vorher war. Damit passiert nichts. Das schreibst du also einfach nur ab. Bei der inneren Ableitung wird dann das Argument abgeleitet.

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Verstanden danke dir

Answer 2

b) g(x)=\( \sqrt{x^2+b} \) hat die Ableitung g'(x)=\( \frac{x}{\sqrt{x^2+b}} \).

f(x)=sin(g(x)) hat die Ableitung f '(x)=cos(g(x))·g'(x)