Integralrechnung (Verständnis) fehlt Mithilfe

Question

Aufgabe:

\( \int \limits_{0}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int \limits_{0}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{0}^2 \)




\( = -\left(\frac13·2^3 - 4·2 - 0\right) = \frac{16}{3} \)

Problem/Ansatz:

Hallo Leute, kann mir jemand bitte erklären, wie ich da aus der Aufgabe  die − [1/3x² - 4x]²₀ ermitteln kann. Ich komme jetzt nicht auf die Lösung. Danke für die Mühe.

mfg

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x^3/3 = 1/3*x^3

a^n/n = 1/n*a^n

Answer 1

Aloha :)

Beim Ableiten von \(x^n\) wird zuerst mit dem Exponenten multipliziert und anschließend der Expnent um 1 vermindert:$$\left(x^n\right)'\stackrel{(1)}{\to} n\cdot x^n\stackrel{(2)}{\to} n\cdot x^{n-1}$$

Beim Integrieren von \(x^n\) machst du das Gegenteil in umgekehrter Reihenfolge. Zuerst wird der Exponent um 1 erhöht und anschließend wird duch den Exponenten dividiert:$$\int x^n\,dx\stackrel{(1)}{\to} x^{n+1}\stackrel{(2)}{\to}\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Daher ist:$$-\int\limits_0^2\left(x^2-4x^0\right)\,dx=-\left[\frac{x^3}{3}-4\,\frac{x^1}{1}\right]_0^2$$

Answer 2

Hallo,

um \( x^{2} \) aufzuleiten, teilst du die Zahl davor = 1 durch die nächsthöhere Potenz = 3.

Gruß, Silvia

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Dankeschön für die Mühe