Definitions- und Wertebereich / Funktionswerte bestimmen / Abblidung auf Injektivität prüfen

Question

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2. Sei $\mathbb{R}_{\geq 0}:=\{x \in \mathbb{R}: x \geq 0\}$ und seien $f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}, g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ und $h:=f \circ g$ drei Abbildungen mit
$f(z):=|z|, \quad g(z):=-i z .$
2.1. Geben Sie den Definitions- und Wertebereich von $h$ an.
2.2. Bestimmen Sie die Funktionswerte $f(t), g(t)$ sowie $h(t)$ für $t:=3+4 i$.
2.3. Überprüfen Sie die Abbildung $f$ auf Injektivität.
2.4. Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage: $\forall z \in \mathbb{C}: f(z)=h(z)$.

Answer 1

2.1  $h(z)=f(g(z)) = | -i \cdot z |$  g bildet ℂ auf ganz ℂ ab und dann

der Betrag liefert alle reellen Zahlen ≥0. Also  D(h)=ℂ  und W(h)=ℝ_≥0 .

2.2   $f(3+4 i) = \sqrt{9+16} = 5$    $g(3+4 i) = -3i + 4$

$h(3+4 i) = |-3i + 4| = 5$ 

2.3 nicht injektiv, da z.B.   $f(3+4 i) = f(3-4 i)$

2.4  Sei z= a+bi. Dann gilt   $f(a+b i) = \sqrt{a^2+b^2}$

und $h(a+b i) = f(-ai +b) = \sqrt{a^2+b^2}$

Also immer f(z)=h(z).

Comments

Ich hätte eine Frage zu ihrer Antwort:

Wie kommen Sie bei 2.2 bei g(t) von g(3+4i) auf = -3i+4 ?

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Hat sich geklärt :)

Alles gut