Gradienten berechnen durch partielle Ableitung

Question

Aufgabe

Text erkannt:

a)
$\begin{array}{ll} f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow R\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot e^{\sin (x)} & f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot e^{\sin (x)} \\ \frac{\partial}{\partial x_{1}}=\left(2 x_{1}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(1+x_{2}\right) \cdot\left(e^{\sin (x)}\right) & \left.\frac{\partial}{\partial x}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot\left(e^{\sin (t)}\right) \cdot \sin (x)\right) \\ f x=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot e^{(x n(1))} \cdot \cos (x) & \frac{\partial}{\partial x}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cdot \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot e^{\sin (x)} \cdot \cos (x) \end{array}$
b)
$\begin{array}{l} f\left(x_{1} x_{2} x_{3}\right): \sin \left(x_{1}\right) \cdot \cos \left(x_{2}^{2}\right)+\arctan \left(x_{3} x_{2}\right) \\ \left((x)=\frac{\partial}{\partial x}\right. \\ \frac{\partial}{\partial x_{1}}=\cos (x) \cdot \cos \left(x_{2}^{2}\right)+\arctan \left(x_{3} x_{2}\right) \\ \frac{\partial}{\partial x_{2}}=\sin \left(x_{1}\right) \cdot \sin \left(2 x_{2}\right)+\frac{1}{\cos ^{2}\left(\tan \left(x_{3} 1_{2}\right)\right.} \\ \frac{\partial}{\partial x_{3}}=\cos \left(x_{1}\right) \cdot \cos \left(x_{2}^{2}\right)+\frac{1}{\cos ^{2}\left(\tan 1_{3} x_{2}\right)} \end{array}$

h

Text erkannt:

Bestimmen Sie schließlich noch eine Basis von ker $(A)$.
2) Berechnen Sie den Gradienten $\nabla f(x)=\left(\partial_{1} f(x), \ldots, \partial_{n} f(x)\right)$ für alle $x$ aus dem tionsbereich und für folgende Funktionen:
a) $f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f\left(x_{1}, x_{2}\right):=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{3}\right) \cos \left(x_{1}+x_{2}\right) e^{\sin \left(x_{2}\right)}$ (hier ist $n=2$ )
b) $f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right):=\sin \left(x_{1}\right) \cos \left(x_{2}^{2}\right)+\arctan \left(x_{3} x_{2}\right)$ (hier ist $n=3$ )
c) $f: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\|x\|_{2}=\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}$
d) $f: \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x):=\frac{1}{\|x\|_{2}}=\frac{1}{\sqrt{x_{1}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}}}$.

Problem/Ansatz: ich bin mir nicht sicher ob meine Rechnung stimmen kann

Answer 1

Hallo

ich sehe leider nichts richtiges, f_x1 hast du 4 verschieden Ausdrücke, ein Teil davon  sind Teile die bei der Produktregel vorkommen, aber auch da ist ein Teil falsch.  was d/dx sein soll?  was ist mit e^sin(x) soll das x1 oder x2 sein?

etwa d/dx1(cos(x1+x2))=-sin(x1+x2) , d/dx1(e^sin(x2))= 0 , d/dx1(x1²+x2³)=2x1

Jetzt setz das mit der Produktregel zusammen zur gesamten Ableitung nach x1 dann die Ableitung nach x2 ähnlich

bei b) ist kaum was richtig  die Ableitung von arctan(x) ist 1/(1+x²)  die Ableitung von arctan(x2*x3) nach x1 ist 0 usw.

cos(x²) abgeleitet nach der Kettenregel ist -sin(x²)*2x und sicher nicht sin(2x)

Also versuchs noch mal, und tippe bitte, dein Zettel ist kaum zu lesen.

lul