Aufgabe:
Hallo,
bei der folgenden Gleichung soll x1=0 und x2=0,69 rauskommen.
Wieso kann ich sie nicht wie folgt lösen? Sehe hier leider meinen Fehler nicht.
Text erkannt:
\( \begin{aligned} e^{x}+2 e^{-x} & =3 \\ e^{x}+\frac{2}{e^{x}} & =3 \quad 1 \cdot e^{x} \\ \left(e^{x}\right)^{2}+2 & =3 e^{x} \\ \left(e^{x}\right)^{2}-3 e^{x} & =-2 \\ e^{x}\left(e^{x}-3\right) & =-2 \\ e^{x} & =0 \quad \ln (0)\end{aligned} \)
Problem/Ansatz:
Es heißt nicht umsonst Satz vom NULLprodukt und nicht Satz vom MINUSZWEIprodukt. ;)
Wie kommst du darauf, dass e^x=0 gilt?
Das Produkt ist -2 und nicht 0!
Löse stattdessen die quadratische Gleichung (e^x)^2 - 3e^x + 2 = 0.
Substituiere. e^x = z
z^2-3z+2 =0
(z-1)(z-2)= 0
z= 1 v z= 2
resubstiuieren:
e^x= 1
x= ln1 = 0
e^x=2
x= ln 2
L={0, ln2}
Lösungsweg ohne Substitution:
\( (e^x)^2-3e^{x}=-2 \)
\( e^{2x}-3e^{x}+(\frac{3}{2})^2=-2+(\frac{3}{2})^2=0,25 \)
\( (e^{x}-\frac{3}{2})^2=0,25 | \pm\sqrt{~~}\)
1.)
\(e^{x}-1,5=0,5 \)
\(e^{x}=2 \)
\(x \cdot ln(e)=ln(2) \) \( ln(e)=1\)
\(x_1=ln(2) \)
2.)
\(e^{x}-1,5=-0,5 \)
\(e^{x}=1 \)
\(x_2=0 \)
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