Bestimmen Sie die Ebene im R3

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Ich habe λ1=1, λ2=1, λ3=-1 v1=$\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$,v2=$\begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}$ und v3=$\begin{pmatrix} 1/2\\-1\\1 \end{pmatrix}$. Wie mache ich von hier weiter?

Text erkannt:

Die Abbildung $x \mapsto A x$ mit
$A=\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 7 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{array}\right)$
beschreibt eine Spiegelung im $\mathbb{R}^{3}$ an einer Ebene $E$. Bestimmen Sie diese Eb

Answer 1

v1 und v2 müssen in der Ebene liegen und v3 muss der Normalenvektor sein.

E: 1/2·x - 1·y + 1·z = 0

oder besser

E: x - 2·y + 2·z = 0

Answer 2

Falls ihr die Aufgabe "einfach nur" lösen sollt, geht es einfacher.

Es gilt $\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 7 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}$, also wird bei der Spiegelung der Ursprung auf den Ursprung abgeildet, und die Spiegelebene verläuft durch den Ursprung und hat also die Form ax+by+cz=0. Jetzt nehme ich mir mal noch einen anderen Punkt, z.B. (1,0,0).

Es gilt $\frac{1}{9}\left(\begin{array}{ccc} 7 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & 8 \\ -4 & 8 & 1 \end{array}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} = \frac{1}{9}\cdot \begin{pmatrix} 7\\4\\-4 \end{pmatrix}$.

Es wird also (1|0|0)  abgebildet auf (7/9 |4/9 | -4/9).

Die Spiegelebene verläuft durch den Mittelpunkt dieser beiden Punkte und steht senkrecht auf deren Verbindungslinie, die den Richtungsvektor $\left(\begin{array}{ccc} -2/9\\ 4/9 \\ -4/9 \end{array}\right)$. Damit haben wir auch den Normalenvektor dieser Ebene.

Eine Gleichung der Spiegelebene ist also -2x+4y-4z=0.