an =\( \frac{n^{2}+3 n}{5 n}=\frac{n(n+3)}{5 n} \) dann kann ich ja einfach umformen zu \( \frac{n}{n} \cdot \frac{n+3}{5} \) und dann n/n =1 und der rest geht gegen unendlich für n gegen unendlich, ist das legitim?
Ja, ganz normale Termumformungen sind erlaubt und auch die gängigste Art, um Grenzwerte zu berechnen.
weitere Möglichkeit:
kürzen mit der höchsten Potenz n^2:
(1+3/n)/(5/n) = (1+0)/0 = 1/0 = oo für n ->oo
Man kann auch ohne Rechnung sofort sagen, dass der lim gg. oo geht, weil Zählergrad > Nennergrad
("Der Zähler gewinnt", der Nenner kann vernachlässigt werden für n -> oo)
(1+3/n)/(5/n) = (1+0)/0
falsch. Wie gehabt.
Üblicherweise wird n gleich gekürzt und dann sieht man direkt, dass die Folgeglieder gegen unendlich streben.
$$a_n = \frac{n^2+3n}{5n} = \frac{n(n+3)}{5n} = \frac{n+3}{5}$$
Ein anderes Problem?
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