a) Beweisen Sie die folgende Umkehrung der Sätze 18.5 und 18.6 (Tangenten- bzw. Sekantensatz) aus der Vorlesung: Seien h und k zwei verschiedene und nicht entgegengesetzte Strahlen in einem Punkt O, und seien A,B∈h\{O} und C,D∈k\{O} Punkte mit A=B. Ist ∣OA∣⋅∣OB∣=∣OC∣⋅∣OD∣, so liegen A,B,C,D alle auf einem Kreis K, und in diesem Fall ist k genau dann eine Tangente, wenn C=D.
Im Rest der Aufgabe seien zwei Kreise K und L gegeben, die sich in genau einem Punkt P schneiden/berühren und eine gemeinsame Tangente t durch P haben. Seien A,B∈K\{P} und C,D∈L\{P} vier verschiedene Punkte. Beweisen Sie:
b) Liegen A,B,C,D alle auf einem Kreis, dann haben die Tangente t und die Sekanten g : =G(A,B) und h : =G(C,D) entweder einen gemeinsamen Schnittpunkt oder sind alle zueinander parallel.
Hinweis: Falls ein Schnittpunkt O∈g∩h existiert, zeigen Sie, dass G(O,P) die gemeinsame Tangente an K und L ist. Im Fall, dass g und h parallel sind, könnte Aufgabe 9.1 hilfreich sein.
c) Liegen A,B,C,D nicht alle auf einer Geraden, dann gilt auch die Umkehrung der Aussage in Teilaufgabe (b).