Aloha :)
zu a) Ich rechne allgemein mit \(a>0\) und \(a\ne1\) anstatt mit \(1,5\).
Die Ableitung von \(f(x)=a^x\) mittels des Differentialquotienten lautet:$$\small f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{a^x\,(a^h-1)}{h}=a^x\,\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}$$
Zur Bestimmung des verbliebenen Grenzwertes definieren wir den Kehrwert des Zählers als neue Variable und schreiben \(h\) in deren Abhängigkeit:$$\small k\coloneqq\frac{1}{a^h-1}\implies a^h=1+\frac1k\implies h\ln(a)=\ln\left(1+\frac1k\right)\implies h=\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}$$
Damit können wir den Bruch hinter dem verbliebenen Grenzwert umformen:$$\frac{a^h-1}{h}=\frac{\frac1k}{\frac{\ln\left(1+\frac1k\right)}{\ln(a)}}=\frac{\ln(a)}{k\cdot\ln\left(1+\frac1k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}$$
Mit \(h\to0\) geht per Definition \(k\to\infty\) und wir erhalten den gesuchten Grenzwert so:$$\lim\limits_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\ln(a)}{\ln\left(\left(1+\frac1k\right)^k\right)}=\frac{\ln(a)}{\ln(e)}=\ln(a)$$
Damit kennen wir auch den Wert des ursprünglichen Differentialquotienten:$$f'(x)=a^x\cdot\ln(a)$$Der gesuchte Streckfaktor ist also \(\ln(a)\).
zu b) Die Gleichung der Tangente an \(f(x)=a^x\) an der Stelle \(x_0=0\) lautet:$$t_0(x)=f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=a^0+a^0\ln(a)\cdot x=1+\ln(a)\cdot x$$
