Wachstumsfunktionen zur Basis e

Question

Jahr	1800	1810	1820	1830	1840	1850	1860	1870	1880	1890
Mio	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4	38.6	50.2	63

Zur basis e

Führen sie für den Zeitraum von 1800-1890 eine Funktionsanpassung durch.

Wie groß war die prozentuale wahstumsrate in diesem zeitraum.

Geben sie die verdopplungszeut dieses wachstumsprozess an.

Im jahr 1950 waren es 151.3mio. Überprüfen sie ob die wachstumsentwicklung des 19.jahrhundert auch im 20.jahrhundert bestand hatte.

Answer 1

Aloha :)

Wir suchen eine Funktion$$f(x)=a\cdot e^{b(x-1800)}\quad;\quad x\ge1800$$Auf beiden Seiten nehmen wir den natürlichen Logarithmus:$$\ln f(x)=\ln(a\cdot e^{b(x-1800)})=\ln(a)+b\cdot (x-1800)$$und setzen die Messwerte $(x|y)$ aus der Tabelle und erhalten folgendes Gleichungssystem:

$$\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 10\\1 & 20\\1 & 30\\1 & 40\\1 & 50\\1 & 60\\1 & 70\\1 & 80\\1 & 90\end{array}\right)\cdot\binom{\ln(a)}{b}=\left(\begin{array}{r}1,667706821 \\ 1,974081026 \\ 2,261763098 \\ 2,557227311 \\ 2,839078464 \\ 3,144152279 \\ 3,446807893 \\ 3,653252276 \\ 3,916015027 \\ 4,143134726 \end{array}\right)$$Wir multiplizieren beide Seiten des Gleichungssystems von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix$$\left(\begin{array}{rr}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90\end{array}\right)$$und erhalten die Normalengleichung$$\left(\begin{array}{rr}10 & 450\\450 & 28\,500\end{array}\right)\cdot\binom{\ln(a)}{b}=\left(\begin{array}{r}29,60321892\\1561,163104\end{array}\right)$$mit der Lösung:$$\binom{\ln(a)}{b}=\binom{1,71113142}{0,02775979}$$Mit $a=e^{\ln(a)}\approx5,5352$ erhalten wir als angepasste Kurve:$$\boxed{f(x)=5,535221\cdot e^{0,027760\cdot(x-1800)}}$$

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f₁(x) = 5,535221·exp(0,027760·(x-1800))P(1800|5,3)P(1810|7,2)P(1820|9,6)P(1830|12,9)P(1840|17,1)P(1850|23,2)P(1860|31,4)P(1870|38,6)P(1880|50,2)P(1890|63)Zoom: x(1790…1900) y(0…70)

Die prozentuale relative Wachstumsrate betrug $b\approx2,7760\%$.

Die Verdopplungszeit betrug $T_2=\frac{\ln(2)}{b}\approx24,97\,\mathrm{Jahre}$.

Laut den Daten aus dem 19. Jahrhundert müsste der Wert von $1950$ bei $f(1950)=356,1$ liegen, was zum tatsächlichen Wert $151,3$ nicht passt.

Comments

Erstmal vielen Dank für diese ausführliche Lösung, so konnte ich jeden Rechenschritt sehr gut folgen und viel lernen.

Nur eine Frage wieso steht in der Grundformel b(x-1800) im Exponenten?

Ich dachte die Formel ist einfach bx

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Wir hätten auch bei $x=0$ anfangen können:$$f(x)=5,535221\cdot e^{0,027760\cdot(x-1800)}$$$$f(x)=5,535221\cdot e^{-0,027760\cdot1800}\cdot e^{0,027760\cdot x}$$$$f(x)=5,535221\cdot e^{-49,9676}\cdot e^{0,027760\cdot x}$$$$f(x)=1,102738\cdot10^{-21}\cdot e^{0,027760\cdot x}$$

So kleine Vorfaktoren täuschen bei exponentiellem Wachstum oft völlig falsche Größenordnungen vor. Daher habe ich die Kurve erst bei $x=1800$ beginnen lassen. (Ich bin Physiker, kein Mathematiker, daher mag ich es, wenn Zahlen leicht zu interpretieren sind und einen realen Bezug haben.)

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Hm,

wenn $f(x)=5,535221\cdot e^{0,02776\cdot(x-1800)}$

würde die Wachstumsrate dann nicht $\textit{e}^{0.02776}-1$ betragen, wegen

$f(x) \, := \, 5.53522 \cdot 1.02815^{x - 1800}$