Bestimmen Sie die lineare Verteilung (Modellfunktion) mit zwei Parametern als Polynom erster Ordnung der Form:

Question

Text erkannt:

Im Rahmen einer Wettbewerbsanalyse wurden 10 Frachtschiffe ausgewähit unc bezüglich mehrerer Merkmale, darunter Länge \( (\mathrm{m}) \) und Breite \( (\mathrm{m}) \), analysiert. Es soll untersucht werden, ob die Breite eines Frachtschiffes möglicherweise in einem festen Bezug zur Länge steht. Vorgegebene Wertetabelle:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline Nummer & Länge \( (\mathrm{m}) \) & Breite \( (\mathrm{m}) \) & & \\
\hline \( \mathrm{j} \) & \( \mathrm{x}_{\mathrm{j}} \) & \( \mathrm{y}_{\mathrm{j}} \) & \( \mathrm{x}_{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{x}} \) & \( \mathrm{y}_{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{y}} \) \\
\hline 1 & 200,0 & 20,0 & 31,3 & 1 \\
\hline 2 & 153,0 & 15,0 & \( -15,7 \) & -4 \\
\hline 3 & 118,0 & 11,0 & \( -50,7 \) & -8 \\
\hline 4 & 223,0 & 35,0 & 54,3 & 16 \\
\hline 5 & 138,0 & 13,0 & \( -30,7 \) & -6 \\
\hline 6 & 245,0 & 32,0 & 76,3 & 13 \\
\hline 7 & 178,0 & 20,0 & 9,3 & 1 \\
\hline 8 & 109,0 & 11,0 & \( -59,7 \) & -8 \\
\hline 9 & 192,0 & 18,0 & 23,3 & -1 \\
\hline 10 & 131,0 & 15,0 & \( -37,7 \) & -4 \\
\hline SUM & 1687 & 190 & & \\
\hline \( \bar{x} \) & 168,7 & & & \\
\hline \( \bar{y} \) & 19 & & & \\
\hline
\end{tabular}

Mit Mittelwert
Aufgabe 1.1:
(6 Punkte)
Bestimmen Sie die lineare Verteilung (Modellfunktion) mit zwei Parametern als Polynom erster Ordnung der Form:
\( f(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x \)
mit
\( \alpha_{1}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \)

Hallo, ich habe Probleme bei der Aufgabe 1.1. Kann mir jemand sagen was ich da wie berechnen soll?

Comments

Die lineare Verteilung (Modellfunktion) mit zwei Parametern als Polynom erster Ordnung

halte ich für eine besonders geschwollene Formulierung. Andere Menschen verwenden dafür das Wort "Gerade".

Es geht um lineare Regression. Du legst eine Gerade durch die Punktewolke so, dass die Summe der Abweichungsquadrate zwischen berechnetem (die Gerade) und gemessenem (der Punkt) y-Wert minimal wird... Um sich dabei viel Analysis zu ersparen, gibt es seit ein paar Jahrhunderten einen Algorithmus, den man Dir irgendwann gezeigt haben wird bevor so eine Aufgabe kommt, und für den man die Tabelle in der Aufgabe verwenden kann.

Answer 1

Die Regressionsgerade:

\(\displaystyle y= \frac{130}{787}\cdot x - \frac{6978}{787}\)

Answer 2

\( \alpha_{1}=\frac{\sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \)

Erst mal :

\(   \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)  \)

Die Klammern hast du ja schon in den 2 Spalten der Tabelle berechnet, also

=  31,3*1+(-15,7)*(-4)+...+(-37,7)*(-4)

und für  

\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}  \)

= 31,3^2 +(-15,7)^2 + ... + (-37,7)^2

und dann die beiden Ergebnisse durcheinander dividieren,

dann hast du α₁.

Comments

Danke für deine Antwort. Und wie berechne ich a0 und x?

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Das x ist die Variable der Modellfunktion, die kann man ja nicht

berechnen. Der Funktionsgraph ist eine Gerade und das α_o ist

der y-Achsenabschnitt. Da brauchst du nur ein Wertepaar

( z.B. (138;13 ) einsetzen und damit   αo bestimmen) etwa so:

          \( 13=\alpha_{0}+\alpha_{1} \cdot 138 \)

Answer 3

Aloha :)

Das ist die Standardformel für lineare Regression:$$y=a_1\cdot x+a_0\quad;\quad a_1=\frac{\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)(y_k-\overline y)}{\sum\limits_{k=1}^n(x_k-\overline x)^2}$$

Die Felder für \((x_i-\overline x)\) und \((y_i-\overline y)\) hast du korrekt ausgefüllt. Die Werte setzt du in die Formel für \(a_1\) ein und solltest \(a_1\approx0,165184\) erhalten.

Den Wert für den Parameter \(a_0\) erhältst du aus der Tatsache, dass der Schwerpunkt \((\overline x|\overline y)\) immer auf der Regressionsgeraden liegt:$$\overline y=a_1\cdot\overline x+a_0\quad\implies\quad a_0=\overline y-a_1\cdot\overline x$$

Ich komme auf \(a_0\approx-8,86658\)

Comments

Vielen dank. Wenn ich die gerade zeichne, muss ich dann x=0,165184 und y=-8,86658 nehmen.