Aloha :)
Hier geht es darum, eine Preisfunktion \(f(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(U(x;y)\) zu optimieren:$$f(x;y)=2x+3y\to\text{Minimum}\quad;\quad U(x;y)=2x^{1/4}y^{1/3}\stackrel!=100=\text{const}$$
Ohne die konstante Nebenbedingung setzt du den Gradienten der zu optimierenden Funktion \(f(x;y)\) gleich \(\vec 0\), um die kritischen Punkte zu bestimmen. Wenn konstante Nebenbedingungen dazu kommen, wird der Nullvektor \(\vec 0\) durch eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen ersetzt. Da es hier nur eine konstante Nebenbedingung gibt, heißt also die Forderung an die kritischen Punkte:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}U(x;y)\quad;\quad\lambda\ne0$$Der sogenannte Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) darf nicht gleich \(0\) sein, weil wir sonst den erstgenannten Fall ohne konstante Nebenbedingung berechnen würden.
Wir bilden die Gradienten und schauen mal, was rauskommt:$$\binom{2}{3}=\lambda\binom{2\cdot\frac14x^{-3/4}y^{1/3}}{2x^{1/4}\cdot\frac13y^{-2/3}}=\lambda\begin{pmatrix}\large\frac{2x^{-3/4}y^{1/3}\cdot\pink x}{4\cdot\pink x}\\[1ex]\large\frac{2\cdot x^{1/4}y^{-2/3}\cdot\pink y}{3\cdot\pink y}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\large\frac{2x^{1/4}y^{1/3}}{4x}\\[1ex]\large\frac{2x^{1/4}y^{1/3}y}{3y}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}\frac{100}{4x}\\[1ex]\frac{100}{3y}\end{pmatrix}$$
Wir haben die partielle Ableitung nach \(x\) mit \(x\) erweitert und die partielle Ableitung nach \(y\) mit \(y\), damit im Zähler wieder die ursprüngliche Funktion \(U(x;y)\) steht. Da diese ja gleich \(100\) sein soll, konnten wir dann beide Zähler durch \(100\) ersetzen.
Unser nächstes Problem ist der Lagrange-Multiplikator \(\lambda\). Wir wissen, dass \(\lambda\ne0\) sein muss. Daher können wir die Gleichung für die erste Koordinate durch die Gleichung für die zweite Koordinate dividieren und anschließend \(\lambda\) rauskürzen:$$\frac{2}{3}=\frac{\lambda\cdot\frac{100}{4x}}{\lambda\cdot\frac{100}{3y}}=\frac{\frac{100}{4x}}{\frac{100}{3y}}=\frac{100}{4x}\cdot\frac{3y}{100}=\frac{3y}{4x}\quad\implies\quad\pink{8x=9y}$$
Mit der pinken Lagrange-Bedingung sind wir fertig. Diese brauchen wir nur noch in die konstante Nebenbedingung einzusetzen:$$100\stackrel!=2x^{1/4}y^{1/3}\stackrel{(\pink{y=\frac89x})}{=}2x^{1/4}\left(\frac89\right)^{1/3}x^{1/3}=\frac{4}{9^{1/3}}\cdot x^{7/12}\quad\implies$$$$x=\left(\frac{100\cdot9^{1/3}}{4}\right)^{12/7}\approx874,4803$$
Damit haben wir als Lösung:$$\pink{x\approx874,4803}\quad;\quad \pink{y=}\frac89x=\pink{777,3158}$$
