Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 )?

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U( x1 , x2 )= x1^0.6x2^0.6 . Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1 =0.5 und p2 =5 sowie das zur Verfügung stehende Einkommen in Höhe von I=610. Optimieren Sie den Nutzen des Individuums unter Beachtung seiner Konsummöglichkeiten.
Wie hoch ist das maximal zu erreichende Nutzenniveau U( x1 , x2 )?

Geht das auch ohne Lagrange?

Danke

Answer 1

Geht ohne Lagrange,

sogar ohne Differentilarechnung.

f(x,y) =  x^0.6 *y^0.6   und

0,5x + 5y=610  ==>    0,5x = 610-5y ==>  x = 1220 - 10y  #

Also hast du  f(y) = (1220-10y)^0.6 * y^0.6 = (1220y - 10y^2 ) ^0,6

Und da x^0.6 streng monoton steigend ist, ist der Wert am größten,

wenn   1220y - 10y^2  am größten ist.  Das ist eine quadratische

Funktion zu einer nach unten geöffneten Parabel. Die hat ihren

größten Wert im Scheitelpunkt .

weil      1220y - 10y^2  = 0

die Lösungen 0 und 122 liegt der bei y=61

und wegen # ist dann x= 610 und der Nutzen ist

610^0.6 *61^0.6 =37210^0.6 =552,6