C)Welchen Einsatz pro Spiel müsste die Bank verlangen,um das Spiel fair zu gestalten?

Question

Aufgabe:

Ein Spiel geht folgendermaßen:In einer Urne befunden sich sechs Kugeln,drei mit der Nummer 1,eine mit der Nummer 2,eine mit der Nummer 5 und die letzte mit der Nummer w0 als Aufschrift.Die Nummern bezeichnen den Wert der Kugel.Es werden 2 Kugeln ohne zurücklegen gezogen.Azsgezahlt wird die wertsumme der gezogenen Kugeln.Die Zufallsgenerator X beschreibt den Auszahlungsbetrag.

Problem/Ansatz:

A)Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung

B)Zeichne ein Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

C)Welchen Einsatz pro Spiel müsste die Bank verlangen,um das Spiel fair zu gestalten?

Comments

die letzte mit der Nummer w0

Was bedeutet w0?

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Die Nummern bezeichnen den Wert der Kugel.

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Warum steht dann hier ein w, sonst aber nicht? Vlt. ist w Tippfehler und es soll 10 lauten.

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Das klingt sehr wahrscheinlich, ja. Ansonsten könnte man dennoch mit einem unbekannten Wert rechnen.

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und die letzte mit der Nummer w0 als Aufschrift

w0 ist meiner Meinung nach keine Nummer, sondern höchstens ein Platzhalter einer Nummer.

Wie lautet es richtig?

Answer 1

Wo ist das Problem? Überlege welche Auszahlungsbeträge möglich sind und wie die Wahrscheinlichkeit dafür ist. Ein Baumdiagramm kann zum Beispiel bei den Wahrscheinlichkeiten helfen.

Die Darstellung in einem Histogramm ist hoffentlich klar. Ein Histogramm ist ein Säulendiagramm. Die Höhe wird durch die Wahrscheinlichkeit bestimmt. Wähle einen geeigneten Maßstab (im Netz gibt es viele Beispiele).

Der Erwartungswert ist hier gesucht. Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert der Auszahlung dem Einsatz entspricht. Hier gibt es eine Formel: Multipliziere die Beträge mit der Wahrscheinlichkeit und rechne die Ergebnisse zusammen. Wenn \(w_0 \) nicht angegeben ist, hängt das Ergebnis von \( w_0 \) ab.

Answer 2

Neuer Ansatz:

Mögliche Ergebnisse:

11, 12, 21, 15, 51, 10, 01, 25, 52, 20, 02, 50, 05

p(11) = 3/6*2/5 = 1/5 = 6/30

p(12,21) p(15,51)= 3/6*1/5*2 = 6/30

p(20,02) = p(50,05) = 1/6*1/5*2 = 2/30

6/30*2 + 6/30*3+ 6/30*6+ 2/30*2 +2/30*5+ 2/30*7+ 1*(-x) = 0

x= ...

Comments

Es wird ohne Zurücklegen gezogen.

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Stimmt. Falsch gelesen. Ist ediert. Danke v.a. für die Art des Hinweises.

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12/30*(-x)

Wo kommt dieser Teil her?

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Ist 11 ein mögliches Ereignis?

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Wo kommt dieser Teil her?

Das ist der Verlustfall, wenn ich richtig gerechnet habe,

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Dafür müsstest du aber vorher wissen, in welchen Fällen Verlust eintritt und wie hoch dieser ist. Der Ansatz scheint mir daher so nicht richtig.

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Verlust-WKT ist die Differenz auf 30/30.

30/30 - 18/30 = 12/30

Ist 11 ein mögliches Ereignis?

Das habe ich übersehen.

p(1,1) = 3/6*2/5

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Das ergibt keinen Sinn. Alle möglichen Kombinationen müssen doch in Summe die Wahrscheinlichkeit 1 haben. Es kann also keine "Differenz" geben. Wenn du nicht auf 1 kommst, fehlen Kombinationen (oder Wahrscheinlichkeiten sind falsch).

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Ich beziehe mich auf die Situation ohne p(1,1).

3*(6/30)+ 6*(2/30)+1*(2/30)+ 7*(2/30)+ 2*(2/30)+ 5*(2/30)+ 12/30*(-x) = 0

Du darfst gerne deine Lösung einstellen zum Vergleich.

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Ich habe einen neuen Ansatz geliefert und stelle ihn zur Diskussion.

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Das bezieht sich auf die neue Versionen:

Wie verwendest Du das fragliche w0?

Wo taucht der Gewinn von 7=5+2 auf?

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Wie verwendest Du das fragliche w0?

Ich habe für w0  Null verwendet.

Veranlasst dazu hat mich dieser Kommentar von döschwo.

Die Nummern bezeichnen den Wert der Kugel.

Wie lautet deine Lösung?

Ohne einen Wert für w0 ist die Aufgabe konkret nicht lösbar, sondern nur in Abhängigkeit vom w0.

Der neue Ansatz steht in meiner 1. Antwort, die ich geändert habe auf euere Hinweise hin.

Hier ist er nochmal:

6/30*2 + 6/30*3+ 6/30*6+ 2/30*2 +2/30*5+ 8/30*(-x) = 0

x= 10

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Und der Gewinn von 7?

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x= 10 = Einsatz. Danach war gefragt.

Welchen Einsatz pro Spiel müsste die Bank verlangen,um das Spiel fair zu gestalten?

Wie gesagt : ich gehe von w0= 0 aus.

Die Lösung stammt von wolfram.
Man müsste etwas über dieses ominöse w0 wissen.

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Aufgrund persönlicher Ansprache drei Bemerkungen zu ggTs Lösung :

1. Neben dem von M schon vermissten Term für (2 5) (warum gehst du auf solch offensichtliche Fehler nicht ein ?) fehlt auch der für (1 w0).

2. Der Einsatz x ist auf jeden Fall und unabhängig vom späteren Auszahlungsbetrag zu entrichten, daher ist sein Vorfaktor 1 und nicht 0,8.

3. Deine anfängliche Vermutung, dass w0 eigentlich 10 heißen sollte, hättest du nicht aufgeben sollen (oder geschah das nach der Devise : "Wenn A dem zustimmt, dann mache ich aus Trotz extra etwas anderes" ?).

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Statt 0,8 sollte es 8/30 heißen.

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Ich habe das schlichtweg vergessen.

: "Wenn A dem zustimmt, dann mache ich aus Trotz extra etwas anderes" ?).

Da tun Sie mir Unrecht. Wenn, dann hat es andere Gründe, die ich nicht wiederholen möchte.

2. Der Einsatz x ist unabhängig vom späteren Auszahlungsbetrag zu entrichten, daher ist sein Vorfaktor 1 und nicht 0,8.

Worauf spielen Sie damit an? Ich erkenne es im Moment nicht.

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PS:

Wie lautet die korrekte Lösung, Es wird zum Fass ohne Boden.

Erlösen Sie bitte mich und den TS, falls er nicht schon kapituliert hat!

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Der TS hat doch offensichtlich kein Interesse!!

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Aber mich würde es weiter interessieren. Vlt. kannst du deine Lösung explizit anbieten. Ich würde mich freuen.

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Schreibe halt ALLE Kombinationen auf und berechne den Erwartungswert für die Auszahlung. Dieser liefert dir dann auch direkt den zu wählenden Einsatz.

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Dazu habe ich keine Lust mehr. Warum kann nicht ich nicht einmal auch selber ein Komplettlösung haben um weitere Nachlässigkeiten oder Fehler zu vermeiden. Wenn du das nicht akzeptieren kannst, dann lass es. Ich will kein weiteres Rumeiern, bei dem wieder Probleme auftreten könnten.

Wenn nicht, dann halt nicht! Dann bleibt die Aufgabe eben ungelöst und fehlerbehaftet für zukünftige Leser. Ich habe eine klare Bitte geäußert und genau darauf will eine Antwort. Alles andere interessiert mich nicht mehr. Wenn nicht erkennst, dass es eben beim Erwartungwert Probleme gibt, auch wegen dem w0, dann hat es keinen Sinn mehr.

Ich hoffe, ein anderer antwortet noch. Wenn nicht, dann wars das halt. Davon geht die Welt nicht unter. So toll ist diese realitätsfremde, an den Haaren herbeigezogene, unklare Aufgabe auch nicht, die in die Welt der Zockerei gehört, die leider immer größer wird mit für viele schlimmen Folgen.

Ich hake das Ganze als erneut misslungene Konzentrationsübung ab.

https://www.netdoktor.de/krankheiten/spielsucht/

Schöne Punkte-Sammel-Sonntag trotzdem.

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Habe es mal mit einer Antwort versucht.

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p(11) = 3/6*2/5 = 1/5 = 6/30

p(12,21) p(15,51)= 3/6*1/5*2 = 6/30

p(20,02) = p(50,05) = 1/6*1/5*2 = 2/30

Du solltest auch strukturierter arbeiten. Ich kann nicht beurteilen, inwiefern dein Gesundheitszustand Einfluss darauf hat. Aber es fehlen hier

p(10, 01)=3/6*1/5*2=6/30 und

p(25,52)=1/6*1/5*2=2/30, so dass man insgesamt auf

6/30+2*6/30+2*2/30+6/30+2/30 = 1 kommt. Es gibt hier nämlich einfach ohne Einsatz keinen "Verlustfall", da X die Auszahlung beschreibt. Warum derartige Fehler zustande kommen, liegt unter anderem aber an dem unsauberen/unübersichtlichen Aufschrieb. Betrachte dazu die zweite und dritte Zeile des Zitats. Diese Wahrscheinlichkeiten müssen natürlich zweimal berücksichtigt werden, was man bei dieser Art von Aufschrieb dann aber schnell übersieht und schon fehlen einem die 8/30 in der Summe.

Zusammenfassung:

Kombi (x,y)	Summe	Wahrscheinlichkeit
(0,1)	1	3/30
(1,0)	1	3/30
(0,2)	2	1/30
(2,0)	2	1/30
(1,1)	2	6/30
(1,2)	3	3/30
(2,1)	3	3/30
(0,5)	5	1/30
(5,0)	5	1/30
(5,1)	6	3/30
(1,5)	6	3/30
(5,2)	7	1/30
(2,5)	7	1/30

Damit ergibt sich als Erwartungswert dann E(X)=100/30, was mit der anderen Antwort für w=0 übereinstimmt.

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Danke, noch lieber wäre mir die Gleichung gewesen zum direkten Abgleich.

Das hätte dir Arbeit erspart. Du hättest meinen Ansatz nur kopieren und ergänzen bzw. verbessern müssen.

wiefern dein Gesundheitszustand Einfluss darauf hat

Den hat er leider. Drum so kurz und klar wie möglich kommentieren oder besser noch:

Sofort komplett richtigstellen. Dann ist der Käse sofort gegessen. Ich bin als Helfer hier, nicht als TS, den man über Umwege zum Ziel führen will.

Fehler benennen, sofort richtigstellen und gut ist es. Und Zoff und weitere Probleme werden so vermieden.

Sich an Fehlern zu geradezu zu weiden ist kontroproduktiv und sorgt nur für Frust und Unmut.

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Du kannst allerdings durch dein Verhalten auch  Frust und Unmut bei denjenigen, die deine Fragen klären wollen, hervorrufen, z.B. durch
- deine Weigerung, gegebene Hinweise adäquat zu verarbeiten
- speziell hier : deinen ersten Post unkommentiert zu verändern, deine späteren Kommentare (von denen Leser annehmen können, dass sie die letzte, aktuelle Version deiner Überlegungen darstellen) aber unverändert zu lassen

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deine Weigerung, gegebene Hinweise adäquat zu verarbeiten

Es gelingt mir nicht immer, z.Z. noch weniger.

Darum dränge ich auf sofortige, komplette Richtigstellung. Damit ist allen am schnellsten geholfen.

Die misslungene Änderung war eueren Hinweisen geschuldet. Man erkennt sie ja auch.

Ich habe es dann stehen lassen, weil das Problem noch lange nicht gelöst war, obwohl es durch Komplettlösung möglich gewesen wäre, aus der alle hätten lernen können.

Man will hier oft Dinge in maximale Länge ziehen, was manchmal sinnvoll ist, aber nicht immer, v.a. wenn Chaos zu entstehen beginnt und sich Missverständnisse auftun.

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Darum dränge ich auf sofortige, komplette Richtigstellung

Die habe ich dir in meinem ersten Beitrag bereits vollständig aufgeschrieben :
Deine Rechnung ist jetzt soweit ok, du musst lediglich den Faktor 8/30 durch den Faktor 1 ersetzen.

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Ich habe es getan, will aber nicht weiter darüber nachdenken.

Der Tag ist gelaufen. Wieder einer mehr von denen man wünscht, sie seien bald vergessen. Guter Wille kann auch rückwärts losgehen und im Desaster ändern.

Danke für die Ihre Mühe und Geduld. Calamitas proxima mox veniet certa.

Jeder Heautotimoroumenos kommt hier immer wieder voll auf seine Kosten.

Wenns nicht läuft, läufts halt nicht. Und wer den Schaden hat, braucht ...

Schönen Restsonntag!

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6/30*2 + 6/30*3+ 6/30*6+ 2/30*2 +2/30*5+ 2/30*7+ 1*(-x) = 0

Stimmt aber immer noch nicht... Es fehlen die Terme für die Summe 1, also 6/30*1.

Wenn es die Konzentration (oder was auch immer) nicht zulässt, sollte man es einfach lassen. Denn damit ist am meisten geholfen, denn fehlerhafte Antworten, die man selbst nicht berichtigen kann, helfen genau wem?

Answer 3

Nach dem ganzen Hin und Her noch ein Versuch:

Die erste Spalte bezeichnet die Ereignisse (gezogene Kugeln), die 2. die Wahrscheinlichkeit multipliziert mit 30, die 3. den Wert von X (Auszahlung) und die 4 den Beitrag zum Erwartungswert:

$$\begin{matrix}~11~~&~6~~&~2~~&12\\12,21&6&3&18\\15,51&6&6&36\\1w,w1&6&1+w&6+6w\\25,52&2&7&14\\2w,w2&2&2+w&4+2w\\5w,w5&2&5+w&10+2w\\\end{matrix}$$

Demnach ist der Erwartungswert für die Auszahlung

$$E(X)=\frac{1}{30}(100+10w)$$

Wenn kein Einsatz zu leisten wäre, würde der Spieler in jedem Spiel mit einem Gewinn von E(X) rechnen. Fair wird das Spiel, wenn er zuvor dieselbe Summe als Einsatz leisten müsste.

Alternativ könnte man von jeder Auszahlung den Einsatz x abziehen. Aber das läuft auf dasselbe hinaus, weil die Summe der Wkt (hoffentlich) gleich 1 ist.

Comments

Danke, aber das ist mir zu unübersichtlich und nicht der Weg, der sonst meist gegangen wird. Ich habe so eine komprimierte Matrizenlösung noch nie gesehen.

Mir wäre es lieber, wenn du meinen Ansatz korrigieren würdest. Du musst dir aber nicht nochmal die Mühe machen. Ich möchte gerne sehen, wo es beim ihm hakt.

PS.

Matritzen sind nicht mein Ding. Zu meiner Zeit gab es sie so nicht. Ich will in diese Materie auch nicht mehr einsteigen. Ich bitte um Verständnis.

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Das ist doch keine Matrix, sondern einfach eine Tabelle. Aus lauter Faulheit habe ich den Matrix-Text aus der Latex-Hilfe kopiert.

Damit ist jede einzelne Info dokumentiert, jede Addition kann überprüft werden. Bei Dir war doch gerade ein Problem, dass Deine Buchhaltung der verschiedenen Fälle nicht stimmte

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Um deren Korrektur hatte ich gebeten, aber nicht so. Und nimmt bitte w0 = 0.

Wenn nicht, dann steige ich an dieser Stelle aus. Ich habe einfach keinen Nerv mehr.

Ich wollte nur sehen, wo bei mir was fehlt oder sonstwie falsch ist. Ich habe keinen Lust,

das mit deiner Lösung nochmal anzusetzen.

Wenn ich das geahnt hätte, hätte ich die Aufgabe nicht wieder aufgegriffen.

Ich wollte nur den TS nicht im Regen stehen lassen. Manche melden sich nach Tagen wieder.

Wenn man mich damit quälen will, ist das hervorragend gelungen. Rache ist süß, gell?

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Nur auf Deine Bitte hin habe ich die Lösung aufgeschrieben. Dass ich jetzt in dieser absurden Weise angepampelt werde, ist - mir fehlen die Worte

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Ich pample dich nicht an. Ich habe nur eine andere, klar definierte Antwort erwartet.

Deine hat mich nicht befriedigt. Wenn du das nicht nachvollziehen kannst, tut es mir leid.
Ich empfinde es halt so. Und hättest du in der von mir gewünschten Weise geantwortet, wäre die Sache längst erledigt. Warum du das nicht tun willst, ist deine Sache.
Mach bitte nicht mich zum Sündenbock und akzeptiere einfach, wenn ich klar sage, was ich will und mit Antworten nicht zufrieden bin. Ich will nicht behandelt werden wie ein TS, den man oft über lange Umwege zum Ziel führt und auch das nicht immer.

Da ich von allen Seiten Anti-Pathie erfahren, weil ich kein mainstreamer bin, veranlasst mich zu Vermutungen wie der genannten. Wenn ich dich damit verletzt habe, tut es mir leid. Aber manches kommt halt so an bei mir, dass ich so reagiere.

PS:

Du hast mir definitiv nicht die gewünschte Lösung hingeschrieben, obwohl klar formuliert:

Mir wäre es lieber, wenn du meinen Ansatz korrigieren würdest.

Hier mein Ansatz:

6/30*2 + 6/30*3+ 6/30*6+ 2/30*2 +2/30*5+ 2/30*7+ 8/30*(-x) = 0

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Ich habe dir oben schon erklärt, warum dein Faktor 8/30 falsch ist. und wie er zu korrigieren ist.

Du hast die Wahrscheinlichkeiten in der davor stehenden Summe geändert, aber diesen Faktor nicht angepasst. Wenn du versuchen würdest, deine alte Begründung für den damaligen Faktor 12/30  Verlust-WKT ist die Differenz auf 30/30  jetzt noch einmal anzuwenden, würdest du deinen Fehler vielleicht einsehen.

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Mir fehlt dazu z.Z. der Nerv. Das ist die Wahrheit.

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Ggt: Was meintest Du eigentlich mit "Rache ist süß"?