1/wurzel(k(k+1)) Konvergent oder divergent

Question

Aufgabe:

Summe von 1 bis unendlich von : 1/wurzel(k(k+1)) auf Konvergenz untersuchen

Problem/Ansatz:

Ich denke, die Reihe ist divergent, aber komme mit dem Minorantenkriterium nicht weiter, wie könnte ich vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wird der Nenner eines positiven Bruchs vergrößert, verkleinert sich der Wert des Bruchs:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k^2+k}}\pink\ge\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k^2+k^{\pink2}}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{2k^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1k\to\infty$$

Comments

Danke, so sieht es ja einfach aus... wird Zeit, dass ich da selber drauf komme:)

Answer 2

Verwende das Integralkriterium. Da $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>0$ auf $[1;\infty)$ und monoton fallend ist, liefert die Nicht-Existenz von $\int_1^{\infty}\!f(x)\,\mathrm{d}x$ die Divergenz der Reihe.

https://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

Comments

Danke, das ist schonmal hilfreich, kannst du vielleicht erklären, woran ich die nicht Existenz erkenne?

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Wenn das Integral endlich ist, existiert es. Da es ein uneigentliches Integral ist, setzt du für die obere Grenze zum Beispiel $k$ und lässt dann $k\rightarrow \infty$ laufen. Das Integral divergiert und damit auch die Reihe.