Groß O Notation von einer gegebenen Funkton

Question

Ich habe eine Frage zu den folgenden Funktionen und wie man dann mit dem Landau-Symbol rechnet.

Als erstes sei f(h)=(h²+h)² - h(sin(h)) gegeben. Aufgelöst wäre dies ja h⁴+2h³+h² -hsin(h).

Nun ist die Frage, wie schreibe ich den Ausdruck in der Form f(h)=O(h^alpha) mit möglichst großem alpha und h-->0.

Answer 1

Auch $\sin h$ kann man ersetzen, durch die Potenzreihe. Dann erhält man insgesamt: $h^4+2h^3+h^2-h(h -\frac{h^3}6 +\frac{h^5}{25}+...) = h^4+2h^3+\frac{h^4}6 + ... = O(h^3)$.