Bestimmen sie die ganzrationalen funktion, die durch folgende punkge verläuft

Question

8 Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph
a) die \( \mathrm{x} \)-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in \( \mathrm{P}(-3 ; 0) \) parallel zur Geraden \( \mathrm{y}=6 \mathrm{x} \) ist
b) in \( \mathrm{P}(1 ; 4) \) einen Extrempunkt und in \( \mathrm{Q}(0 ; 2) \) einen Wendepunkt hat.

Answer 1

Verwende :

a)  f(0)=0  und f '(0)=0 (wegen berühren der x-Achse)

und f(-3)=0 und f ' (-3) = 6  wegen der parallelen Tangente.

und bei b)

f(1)=4 und f ' (1)=0  und f(0)=2  und f ' ' (0)=0 .

Answer 2

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph

a) die \( \mathrm{x} \)-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in \( \mathrm{P}(-3 | 0) \) parallel zur Geraden \( \mathrm{y}=6 \mathrm{x} \) ist.

Doppelte Nullstelle  Ursprung und einfache Nullstelle \( \mathrm{P}(-3 | 0) \):

\(f(x)=a \cdot x^2 \cdot(x+3)=a\cdot (x^3+3x^2)\)

Tangente in  \( \mathrm{P}(-3 | 0) \) hat die Steigung \(m=6 \)

\(f'(x)=a\cdot [3x^2+6x]\)

\(f'(-3)=a\cdot [3\cdot (-3)^2+6\cdot (-3)]=9a\)

\(9a=6\)

\(a=\frac{2}{3}\)

\(f(x)=\frac{2}{3}\cdot (x^3+3x^2)\)