Question

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen über \( \mathbb{R} \).
a) \( x^{-2}-3=0 \)
b) \( 5^{2 x}-5^{x+1}=-4 \)
c) \( \sqrt{x+1}+2=0 \)

Answer 1

b)

\( 5^{2 x}-5^{x+1}=-4 \)

\( 5^{2 x}-5 \cdot 5^{x}=-4 \)

\( 5^{2 x}-5 \cdot 5^{x}+(\frac{5}{2})^2=-4 +(\frac{5}{2})^2\)

\( (5^{ x}-\frac{5}{2})^2=-4+6,25 \)

\( (5^{ x}-2,5)^2=2,25  | ±\sqrt{~~}\)

1.)

\( 5^{ x}-2,5=1,5  \)

\( 5^{ x}=4  \)

\(x\cdot ln( 5)=ln(4)  \)

\(x_1=\frac{ln(4)}{ln(5)}≈0,86 \)

2.)

\( 5^{ x}-2,5=-1,5  \)

\( 5^{ x}=1  \)

\( x_2=0 \)

Answer 2

a) x^-2 = 3

1/x^2= 3

x^2 = 1/3

x= ±√(1/3)

L= {±√(1/3) }

b) 5^(2x) -5*5^x+4 =0

5^x = z

z^2-5z+4 = 0

(z-1)(z-4) = 0

....

c) √(x+1) = -2 |quadrieren

x+1 = 4

x= 3

Überprüfen, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

√4 +2 = 0

2+2 = 0 falsch -> L = {}