explizite Darstellung einer Reihe

Question

ich komm bei einem Beispiel nicht weiter. Gesucht ist die explizite Darstellung der Partialsummen folgender unendlichen Reihe: ∑_n=0 1/(2ⁿ)

Die Partialsummen sind doch: 

s₁=1

s₂=1+1/2=3/2

s₃=1+1/2+1/4=7/4

...

Wie gesagt, ich kann leider keine explizite Darstellung finden also bin ich für jeden Tipp sehr dankbar :)

LG

Answer 1

Ist doch eine geometrische Reihe mit q = 1/2, also sind die Partialsummen gegeben durch

$$s_n = \frac{ q^{n+1} - 1 }{ q - 1 } = -\frac{ (\frac{1}{2})^{n+1} -1 }{ \frac{1}{2} } = -2 \cdot ((\frac{1}{2})^{n+1} -1)$$

Comments

 

ich habe noch eine (leichtere) explizite Darstellung gefunden und zwar: (2ⁿ⁺¹-1)/2ⁿ jedoch habe ich das nur durch Herumprobieren gefunden. Gibt es zu meiner Lösung auch einen formellen Ansatz?

Dankeschön

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Einen Beweis findest du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Herleitung_der_Formel_f.C3.BCr_die_Partialsummen