f(x) = ln(4x²+1) Hier musst du erst mal angeben, was denn der Bildbereich sein soll. f ist durchaus surjektiv, wenn der Bildbereich Ro^{+} ist. Negative Funktionswerte können aber nicht rauskommen, da 4x^2 + 1 ≥ 1, wenn x eine reelle Zahl ist. Daher nicht surjektiv, wenn Bildbereich R. In deinem WolframAlpha-Link siehst du das, daran, dass die Graphen nicht unter die x-Achse kommen.
Ach ja, und den Definitionsbereich mussten wir selbst herausfinden, hier hätte ich mich für alle reellen Zahlen entschieden.
Das ist ok.
Für die Surjektivität einer Funktion kommt es entscheidend auf den zu betrachtenen Bildbereich an.
WolframAlpha nimmt als Bildbereich die Menge der rellen Zahlen und dabei ergibt sich, dass f bezüglich dieses Bildbereiches nicht surjektiv ist (" ... is not surjective onto R... ")
Betrachtet man als Bildbereich jedoch nur die nichtnegativen reellen Zahlen ( R0+ ) , dann ist f surjektiv. Es ist nämlich jedes y aus R0+ Bild von f.
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