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Wie kann ich diese Aufgabe am schnellsten lösen?

Ich hätte für diese ca. 8 Minuten Zeit. Ich kann da ja nicht jedes Mal ein LGS machen. Zeitgleich weiß ich aber auch, dass da etwas war mit Vektorentausch. Wenn Orthogonalität vorliegt, sind sie lin. unabhängig oder verwechsle ich da etwas?


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Hallo

die ersten 2 sind einfach nur sehen ob a=r*v1 gilt

danach muss man einfach für 3. 4. nachrechnen. also x*v1+y*v2=a sehen ob es x und y gibt, für den Rest eben 3 Unbekannte.

manches geht ohne Rechnung. wenn etwa alle vi z Komponente 0 haben kann a auch nur z Komp 0 haben usw eigentlich sieht man im Kopf welche Kombinationen sicher nicht gehen meist muss man nur die z Komponente ansehen.

Gruß lul

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Also muss ich doch rechnen?
Bei 8 Minuten schaffe ich das aber nicht!

Nö. Weil man es bei den meisten sofort sehen kann.

Hallo einfaches Kopfrechnen ca 30 s pro Vektor reicht. Das wie war nur die Methode.

lul

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Aloha :)

Ich schreibe einfach mal meine Gedankengänge zu den Aufgaben auf. Vielleicht hilft dir das besser zu verstehen, wie man ohne langes Rechnen die Entscheidung zwischen "geht" und "geht nicht" treffen kann.

zu 1) geht nicht

Der Nullvektor \(\vec v_2\) hilft mir nicht bei der Bildung einer Linearkombination und kann ignoriert werden, bleibt \(\vec v_1\) übrig: \(\binom{3}{-1}=k\cdot\binom{-1}{3}\). Wegen der ersten Komponente müsste \(k=-3\) sein. Wegen der zweiten Komponente müsste \(k=-\frac13\) sein. Beides zugleich geht nicht.

zu 2) geht

Der Nullvektor \(\vec v_2\) kann wieder ignoriert werden und ich sehe sofort: \(\binom{3}{-1}=-\binom{-3}{1}\).

zu 3) geht

Die beiden Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) sind linear unabhängig, also spannen sie den \(\mathbb R^2\) auf, sodass ich jeden Vektor des \(\mathbb R^2\) aus ihnen linear kombinieren kann.

zu 4) geht nicht

Die Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) sind linear abhängig, denn \(\vec v_2=-2\vec v_1\). Daher ignoriere ich \(\vec v_2\). Bleibt übrig \(\binom{3}{-1}=k\cdot\binom{1}{-3}\). Wegen der ersten Komponente müsste \(k=3\) sein, wegen der zweiten Komponente müsste \(k=\frac13\) sein. Beides zugleich geht nicht.

zu 5) geht nicht

Die 3 \(\vec v\)-Vektoren sind linear abhängig, denn \(2\vec v_1+\vec v_3=\vec v_2\). Daher ignoriere ich \(\vec v_2\). Die 3-te Komponente von \(\vec a\) ist \(1\), also brauche ich den Vektor \(\vec v_1\). Dadruch fange ich mir aber eine \(1\) bei der ersten Komponete ein. Da in \(\vec v_3\) die erste Komponente \(0\) ist, kriege ich diese \(1\) in der ersten Komponente nicht mehr weg.

zu 6) geht nicht

Die 3-te Komponente aller \(\vec v\)-Vektoren ist \(0\). Daher kann ich nie die \(1\) in der dritten Komponente von \(a\) erhalten.

zu 7) geht

Die drei \(\vec v\)-Vektoren sind linear unabhängig und spannen daher den \(\mathbb R^3\) auf. Daher kann man jeden Vektor des \(\mathbb R^3\) aus ihnen linear kombinieren.

zu 8) geht

Man sieht sofort: \(\vec a=\vec v_1-2\vec v_2\).

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