Kann mir bitte jemand erklären wie man bei dieser Funktion (3x^4-8x^3+6x^2)eine kurvendiskussion durchfüht?

Question

Kann  mir bitte jemand erlkären wie ich bei dieser Funktion(3x^4-8x^3+6x^2) die Nullstellen und die Extrema bestimmen kann? Habe schon in anderen Foren gesucht aber keine gute Erklärung gefunden.

Answer 1

Kann  mir bitte jemand erlkären wie ich bei dieser Funktion
(3x⁴-8x³+6x²) die Nullstellen und die Extrema bestimmen kann?

f ( x ) = 3 * x^4 - 8 * x^3 + 6 * x^2
Nullstellen
3 * x^4 - 8 * x^3 + 6 * x^2 = 0
x^2* ( 3 * x^2 - 8 * x + 6 )
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens 1 Faktor 0 ist.
=> x^2 = 0
x = 0
3 * x^2 - 8 * x + 6 = 0  l versuch einmal dies zu berechnen pq-Formel
l ergibt noch 2 weitere Nullstellen
1.Ableitung
f ´ ( x ) = 12 * x^3 - 24 * x^2 + 12 * x
f ´ ( x ) = x * ( 12 * x^2 - 24 * x + 12 )
Extrema
x * ( 12 * x^2 - 24 * x + 12 ) = 0
x = 0 l siehe oben
12 * x^2 - 24 * x + 12 = 0  l siehe oben

Bei Fehlern oder Fragen bin ich gern weiter behilflich.

mfg Georg

Answer 2

Hi,

Nullstellen:

f(x) = 3x^4-8x^3+6x^2 = x^2(3x^2-8x+6) = 0

Betrachte das nun Faktorenweise.

x_1,2 = 0 kann direkt abgelesen werden.

Der zweite Faktor ergibt keine weitere Nullstellen (mit pq-Formel überprüfen (vorher durch 3 dividieren)).

 

Extrempunkte:

Bilden der ersten beiden Ableitungen:

f'(x) = 12x^3-24x^2+12x = 12x(x-1)^2

f''(x) = 36x^2-24x+12 = 12(x-1)(3x-1)

 

Nun f'(x) = 0 setzen.

Da kommt nur x₁ = 0 und x_2,3 = 1 in Frage.

Überprüfen mit der zweiten Ableitung:

f''(0) > 0       -> Tiefpunkt

f''(1) = 0       -> Kein Extrempunkt

 

Wir haben also bei x = 0 einen Tiefpunkt (dieser liegt bei T(0|0)).

Grüße