Woraus hast du geschlossen, dass f stetig ist?
]a,c]f]−∞,0]
Was bedeutet das?
mit
c∈R,
c>a&f(c)=0.
Besser "für alle c>a mit f(c)=0" oder "für ein c>a mit f(c)=0" je nach dem was du meinst.
Unabhängig davon stellt sich die Frage, ob ein solches c existiert.
Satz. Seien a,b∈R mit a<b und f : ]a,b[→R stetig. Gilt x→alimf(x)=−∞ und x→blimf(x)=∞, so ist f surjektiv.
Beweis. Sei y∈R.
Sei c1∈]a,b[ mit f(c)<y für alle c∈]a,c1]. Ein solches c1 existiert wegen x→alimf(x)=−∞.
Sei c2∈]a,b[ mit f(c)>y für alle c∈[c2,b[. Ein solches c2 existiert wegen x→blimf(x)=∞.
Wegen c1<c2 und f(c1)<y und f(c2)>y und der Stetigkeit von f auf [c1,c2] existiert laut Zwischenwertsatz ein c∈[c1,c2] mit f(c)=y.
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