0 Daumen
509 Aufrufe

Ist mein Beweis richtig?

IMG_7887.jpeg

Text erkannt:

a) Zeige: Gilt limxaf(x)=&limxbf(x)= \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty , so ist f f surjektiv.
Beweis:
Es gelte limxaf(x)=,d.h \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty, d . h . sei (xn)nNC]a,b[ \left.\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} C\right] a, b[ mit limnxn=a \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a eine beliebige Folge, so gilt für diese limnf(xn)= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=-\infty . Also gilt das für jede Folge, die gegen a konvergiert.
Da f f stetig ist, gilt also ]a,c]f],0] ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0] mit cR c \in \mathbb{R} , c>a&f(c)=0 c>a \quad \& f(c)=0 .
Analog, da auch limxbf(x)= \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty gilt, gilt (xn)nN]a,b[ \left.\forall\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \subset\right] a, b[ mit limnxn=b : limnf(xn)= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=b: \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\infty .
Da f f stetig ist, gilt also auch [c,b[f[0,[ [c, b[\stackrel{f}{\rightarrow}[0, \infty[ mit cR c \in \mathbb{R} c<b&f(c)=0 c<b \& f(c)=0 .
Damit gilt insgesamt: ]a,b[],[=R ] a, b[\rightarrow]-\infty, \infty[=\mathbb{R} . Damit ist f f surjektiv.

Avatar von 1,7 k

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort
Da ff stetig ist

Woraus hast du geschlossen, dass ff stetig ist?

]a,c]f],0] ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0]

Was bedeutet das?

mit cR c \in \mathbb{R} , c>a&f(c)=0 c>a \quad \& f(c)=0 .

Besser "für alle c>ac>a mit f(c)=0f(c)=0" oder "für ein c>ac>a mit f(c)=0f(c)=0" je nach dem was du meinst.

Unabhängig davon stellt sich die Frage, ob ein solches cc existiert.

Satz. Seien a,bRa,b\in \mathbb{R} mit a<ba < b und f : ]a,b[Rf:]a,b[\to\mathbb{R} stetig. Gilt limxaf(x)= \lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty und limxbf(x)=\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty , so ist f f surjektiv.

Beweis. Sei yRy\in \mathbb{R}.

Sei c1]a,b[c_1\in ]a,b[ mit f(c)<yf(c) < y für alle c]a,c1]c\in ]a,c_1]. Ein solches c1c_1 existiert wegen limxaf(x)=\lim \limits_{x \to a} f(x)=-\infty.

Sei c2]a,b[c_2\in ]a,b[ mit f(c)>yf(c) > y für alle c[c2,b[c\in [c_2,b[. Ein solches c2c_2 existiert wegen limxbf(x)=\lim \limits_{x \to b} f(x)=\infty.

Wegen c1<c2c_1 < c_2 und f(c1)<yf(c_1) < y und f(c2)>yf(c_2) > y und der Stetigkeit von ff auf [c1,c2][c_1,c_2] existiert laut Zwischenwertsatz ein c[c1,c2]c\in [c_1,c_2] mit f(c)=yf(c)=y.


Avatar von 107 k 🚀

Danke für deinen Ansatz. Ja also ich hab es vergessen zu schreiben, natürlich ist f stetig nach Voraussetzung. Ist denn aber mein Beweisweg auch korrekt?

Achso ja:

]a,c] -> ]-unendlich, 0] bedeutet einfach

f(]a,c]) = ]-unendlich, 0]

gilt also ]a,c]f],0] ] a, c] \xrightarrow{f}]-\infty, 0]

Mir ist nicht klar, warum das gelten sollte.

Außerdem bist du nicht darauf eingegangen, ob das für jedes c>ac>a mit f(c)=0f(c) = 0 gilt, oder ob ein c>ac>a mit f(c)=0f(c) = 0 existiert so dass obiges gilt.

Ja also wir wissen ja je mehr die Argumente x gegen a konvergieren, desto mehr geht die Funktion nach minus unendlich. Dieses c ist einfach ein beliebiges Argument, welches die  0 abbildet. Dieses existiert ja, da f für x -> a nach - unendlich geht und für x -> b nach plus unendlich und daher irgendwo an einer Stelle c die x-Achse trifft, also eine Nullstelle hat und f ja stetig ist. Also gilt insgesamt f(]a,c]) = ]-unendlich, 0]

Hier nochmal das überarbeitete:

IMG_7888.jpeg

Text erkannt:

Aufgabe 2: Sei f : ]a,b[R f:] a, b[\rightarrow \mathbb{R} eine stetige Funktion. a) Zeige: Gilt limxaf(x)=&limxbf(x)= \lim \limits_{x \rightarrow a} f(x)=-\infty \& \lim \limits_{x \rightarrow b} f(x)=\infty , so ist f f surjektiv.
Beweis: Es gilt für xa,f(x)& x \rightarrow a, f(x) \longrightarrow-\infty \& für xb x \rightarrow b , f(x)+ f(x) \rightarrow+\infty . D.h. es gibt ein x1]a,b[ \left.x_{1} \in\right] a, b\left[\right. mit f(x1)<0 f\left(x_{1}\right)<0 \& ein x2]a1b[ \left.x_{2} \in\right] a_{1} b\left[\right. mit x2>x1&f(x2)>0 x_{2}>x_{1} \& f\left(x_{2}\right)>0 .
Diese exishienen, da f für xa x \rightarrow a nach & -\infty \& für xb x \rightarrow b nach + +\infty geht.
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein x0]a,b[ \left.x_{0} \in\right] a, b[
mit f(x0)=0 f\left(x_{0}\right)=0 . Da f f stetig ist k k bei stetigen Funktionen der Vorlesung die Bilder von Intervallen, auch Intervalle sind, gilt f]a1x0]=],0] \left.\left.\left.f] a_{1} x_{0}\right]=\right]-\infty, 0\right] \& f[x0,b[=[0,[ f\left[x_{0}, b[=[0, \infty[\right. .
Damit folgt also f]a,b[=R&f f] a, b[=\mathbb{R} \& f ist surjektiv.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen