Bestimmen sie eine Basis \mathcal{C}=(c_{0}, c_{1}, c_{2}) von P_{2} , so dass { }_{C} F^{\mathcal{B}} die …

Question

Aufgabe: Bestimmen sie eine Basis \( \mathcal{C}=\left(c_{0}, c_{1}, c_{2}\right) \) von \( P_{2} \), so dass \( { }_{C} F^{\mathcal{B}} \) die Einheitsmatrix ist. Benutzen Sie die Basis-Eigenschaft von \( \mathcal{B} \) um zu zeigen, dass auch \( \mathcal{C} \) eine Basis ist.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) \)

B habe ich schonmal( wurde in einer anderen Aufgabe gezeigt)

Comments

Wenn ich diesen Text zusammen mit Deinem anderen Post richtig verstanden habe, dann ist die angegebene Matrix die darstellende Matrix \(_BF^B\). Gesucht ist eine Basis C mit \(_CF^B=E\) (Einheitsmatrix). Die Gretchenfrage ist: Bedeutet \(_CF^B\) Basis B im Argumentraum und Basis C im Bildraum oder umgekehrt. Wie habt Ihr das definiert?

---

Ja genau B in Argumentenraum und C im Bildraum

Answer 1

Mit dem Kontext von Deinem anderen Post wäre also

$$f(b_1)=b_1 \quad f(b_2)=2b_1+b_2\quad f(b_3)=b_1+4b_2+b_3$$

Setzen wir also

$$c_1:=b_1 \quad c_2:=2b_1+b_2\quad c_3:=b_1+4b_2+b_3$$

so folgt

$$f(b_1)=c_1 \quad f(b_2)=c_2\quad f(b_3)=c_3$$

D.h. \(_CF^B\) ist die Einheitsmatrix