Bestimmen sie eine Basis \mathcal{C}=(c0, c1, c2) von P2 , so dass { }C F\mathcal{B} die …

Question

Aufgabe: Bestimmen sie eine Basis $\mathcal{C}=\left(c_{0}, c_{1}, c_{2}\right)$ von $P_{2}$, so dass ${ }_{C} F^{\mathcal{B}}$ die Einheitsmatrix ist. Benutzen Sie die Basis-Eigenschaft von $\mathcal{B}$ um zu zeigen, dass auch $\mathcal{C}$ eine Basis ist.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

$\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$

B habe ich schonmal( wurde in einer anderen Aufgabe gezeigt)

Comments

Wenn ich diesen Text zusammen mit Deinem anderen Post richtig verstanden habe, dann ist die angegebene Matrix die darstellende Matrix $_BF^B$. Gesucht ist eine Basis C mit $_CF^B=E$ (Einheitsmatrix). Die Gretchenfrage ist: Bedeutet $_CF^B$ Basis B im Argumentraum und Basis C im Bildraum oder umgekehrt. Wie habt Ihr das definiert?

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Ja genau B in Argumentenraum und C im Bildraum

Answer 1

Mit dem Kontext von Deinem anderen Post wäre also

$$f(b_1)=b_1 \quad f(b_2)=2b_1+b_2\quad f(b_3)=b_1+4b_2+b_3$$

Setzen wir also

$$c_1:=b_1 \quad c_2:=2b_1+b_2\quad c_3:=b_1+4b_2+b_3$$

so folgt

$$f(b_1)=c_1 \quad f(b_2)=c_2\quad f(b_3)=c_3$$

D.h. $_CF^B$ ist die Einheitsmatrix