Question

Berechnen Sie die Nullstellen und Extrempunkte der Funktion $f(x)=x^{3}-3 x^{2}-24 x$ und zeichnen Sie den Graphen der Funktion!

Answer 1

Nullstellen:

x(x²-3x-24)

Satz vom Nullprodukt anwenden, verwenden die pq-Formel

...

Extrema:

f '(x) = 0

3x²-6x-24 = 0

x²-2x-8= 0

(x-4)(x+2) = 0 , mit Vieta (oder pq-Formel)

....

Answer 2

$f(x)=x^{3}-3 x^{2}-24 x$

Extrema:

 $f'(x)=3x^{2}-6 x-24$

$3x^{2}-6 x-24=0$

$x^{2}-2 x=8$

$x^{2}-2 x+1=8+1$

$(x-1)^2=9 | ±\sqrt{~~}$

1.)

$x-1=3$

$x_1=4$    → $f(4)=4^{3}-3 \cdot 4^{2}-24\cdot 4=-80$

2.)

$x-1=-3$

$x_2=-2$    → $f(-2)=(-2)^{3}-3 \cdot (-2)^{2}-24\cdot (-2)=28$

Art der Extrema:

$f''(x)=6x-6$     $f''(4)=6 \cdot4-6= 18>0$ Minimum

$f''(-2)=6 \cdot(-2)-6=-18$ Maximum