Ich hätte eine Frage, ob ich den zweiten Beweis nun richtig gemacht habe.
Nun die Aufgabe
Wichtig: f: ]a,b[ -> R ist eine stetige Funktion (Voraussetzung)
Hier nun das, was ich unter dieser Voraussetzung zeigen sollte und mein Ansatz:
Text erkannt:
b) Zeige: Ist x→alimf(x)=∞&x→blimf(x)=∞, so gilt f]a,b[=[c,∞[ für c∈R.(imx→b(f) : =f]a,b[)
Beweis:
Es gilt x→alimf(x)=∞&x→blimf(x)=∞ für f : ]a,b[→R.
Offensichtlich ist lim(f) nach oben unbeschränkt, denn für größer/kleiner werdende Argumente, werden die Funktionswerte unendlich groß.
Jedoch ist lim(f) nach unten beschränkt, denn angenommen es wäre nicht so, d.h. es müsste dann ein k∈]a,b[ geben mit x→klimf(x)=−∞.
Doch das widerspricht der Bedingung x→alimf(x)=∞ oder x→blimf(x)=∞, (Je nachdem, ob k in der a-Umgebung oder in der b-Umgebung liegt.)
Denn damit das gelten darf, müsste K eine Asymtote sein \& das ist ein Widerspruch für die Stetigheit von f in ]a,b. Also ist im(f) nach unten beschränkt, d.h. ∃c∈im(f) mit c⩽f(x)∀x∈]a,b[. Damit gilt im(f)=[c,∞[.
(Kurze Ergänzung: Wenn k eine asymtotische Stelle wäre, müsste man ja für das Erhalten der Stetigkeit den Definitionsbereich als ]-unendlich, k[ U ]k, unendlich[ definieren, da f(k) ja nicht existieren würde.)