Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Rutsche.

Question

Aufgabe:

Analysis und Analytische Geometrie

Wasserrutsche

Im Schöndorfer Freibad soll endlich eine Wasserrutsche gebaut werden. Das Seitenprofil der geplanten neuen Attraktion kann durch die Funktion $\mathrm{f}$ mit
$f(x)=2 e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}+2 e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}-3 \quad x \in[0 ; 20]$
beschrieben werden. Dabei steht $x$ für den horizontalen Abstand (in $m$ ) vom Startpunkt der Wasserrutsche und $f(x)$ für die Höhe der Rutsche über dem Fußboden bzW. der Wasserfläche.

1) Erstellen Sie eine Seitenansicht der Rutsche. Bestätigen Sie dabei auch, dass die Höhe der Wasserrutsche an ihrem Startpunkt etwa 9,4 m beträgt.

2) Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Rutsche.

3) Bestimmen Sie das durchschnittliche Gefälle der Rutsche vom Startpunkt bis zum niedrigsten Punkt.

Damit auch Kinder die Rutsche ungefährdet benutzen können, darf die Rutsche an keiner Stelle um mehr als $60^{\circ}$ gegenüber der Horizontalen geneigt sein.

4) Geben Sie unter Betrachtung des Funktionsgraphen die Stelle mit dem größten Gefälle an und untersuchen Sie, ob die Rutsche damit die Bedingung für den Steigungswinkel erfüllt.

Hier die Gleichung zum Kopieren: f(x) = 2 e^(1 / 8 x - 9 / 5) + 2 e^(-(1 / 8) x + 9 / 5) - 3

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich an die Aufgaben heran gehen soll.

Answer 1

2) Bestimmen Sie den tiefsten Punkt der Rutsche.

$f(x)=2• e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}+2• e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}-3 \quad x \in[0 ; 20]$

$f'(x)=2•\frac{1}{8} •e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}+2•(-\frac{1}{8})• e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}$

$f'(x)=\frac{1}{4} •e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}• e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}$

$\frac{1}{4} •e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}• e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}=0$

u.s.w.

Comments

Tipp;

Klammere den Subtrahenden aus.

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$\frac{1}{4} •e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{4}• e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}=0$

$e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-e^{-\frac{1}{8} x+\frac{9}{5}}=0$

$e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-e^{-(\frac{1}{8} x-\frac{9}{5})}=0$

$e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}-\frac{1}{e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}}=0|•e^{\frac{1}{8} x-\frac{9}{5}}$

$e^{\frac{x}{4}-\frac{18}{5}}=1$

$e^{\frac{x}{4}-\frac{18}{5}}=e^{0}$ 

$\frac{x}{4}-\frac{18}{5}=0$

$x=\frac{72}{5}$

$f(\frac{72}{5})=...$

Answer 2

Ich weiß nicht wie ich an die Aufgaben heran gehen soll.

Das steht in der Aufgabe. Fange mit dem an, was dort als Erstes verlangt wird.

Comments

Wie komme ich rechnerisch denn auf den wert von ca. 9,414?

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Das wäre schon das Zweite.

Setze x = 0 in die Funktion f(x) ein.

Woher hast Du 9,414? Ich komme eher auf 9,4298927

Answer 3

1) Skizze mit Hilfe einer Wertetabelle und $f(0)$ berechnen.

2) Berechnung des Tiefpunktes. Für die Ableitung von Funktionen der Form $g(x) =a \mathrm{e}^{bx+c}$ gilt $g'(x)=ab \mathrm{e}^{bx+c}$.

3) Berechne den Differenzenquotient $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$. Verwende hier Startpunkt und Tiefpunkt (kennst du beide schon).

4) Berechne die Wendestelle und die Steigung an dieser Stelle. Vergleiche dann mit dem Wert von $\tan(180^{ \circ} - 60^{\circ})$ (da die Rutsche fällt) bzw. berechne den Winkel über $180^{ \circ} - \tan^{-1}(f'(x_w))$ an der Wendestelle $x_w$.

Answer 4

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Höhe der Rutsche wird durch folgende Funktion beschrieben:$$f(x)=2e^{\frac18x-\frac95}+2e^{-\frac18x+\frac95}-3\quad;\quad x\in[0;20]$$Darin versteckt sich eine Cosinus-hyperbolicus-Funktion$$f(x)=4\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)-3\quad;\quad x\in[0;20]$$

Die Ableitung von $\cosh(x)$ ist $\sinh(x)$ und die Ableitung von $\sinh(x)$ ist $\cosh(x)$. Das ist einfacher ale bei den trigonometrischen Funktionen, weil man keine Minuszeichen beachten muss. Daher können wir die ersten beiden Ableitungen (unter Beachtung der Kettenregel) sofort hinschreiben:$$\pink{f'(x)=}4\sinh\left(\frac18x-\frac95\right)\cdot\frac18=\pink{\frac12\sinh\left(\frac18x-\frac95\right)}$$$$\pink{f''(x)=}\frac12\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)\cdot\frac18=\frac{1}{16}\cosh\left(\frac18x-\frac95\right)=\pink{\frac{f(x)+3}{64}}$$

zu 1) Wir lassen uns die Funtion plotten:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 4·cosh(1/8·x-9/5)-3x = 20Zoom: x(0…22) y(0…10,5)

Man erkennt, dass der Startpunkt der Rutsche in etwa auf der Höhe $9,5\,\mathrm m$ liegt. Genauer liegt er bei $f(0)\approx9,43\,\mathrm m$.

zu 2) Der tiefste Punkt der Rutsche ist ein lokales Minimum. Kandidaten für lokale Extrema finden wir bei den Nullstellen der ersten Ableitung. Die Sin-hyperbolicus-Funktion hat nur eine Nullselle, wenn ihr Argument gleich Null ist. Daher ist der einzige Kandidat für ein Extremum bei $x_0=\frac{72}{5}=14,4$.

Wegen $f(x_0)=f(14,4)=1$ ist die zweite Ableitung$$f''(x_0)=f''(14,4)=\frac{f(14,4)+3}{64}=\frac{1}{16}>0$$an dieser Stelle $x_0$ positiv, sodass es sich tatsächlich um ein Minumum handelt

Der tiefste Punkt der Rutsche liegt also bei$\quad\pink{\text{Min}\left(14,4|1\right)}$

zu 3) Die Steigung $m$ und der Steigungswinkel $\alpha$ sind miteinander verknüpft über$$\tan\alpha =m$$Die durchschnittliche Steigung der Funktion zwischen dem Startpunkt und Mimium beträgt:$$m=\frac{f(14,4)-f(0)}{14,4-0}\approx\frac{1-9,43}{14,4}=-0,5854$$Das entspricht einem durchschnittlichen Steigungswinkel von$$\alpha=\arctan(m)\approx-30,35^\circ$$Negative Steigung bedeutet Gefälle ;)

zu 4) Hier ist eine kleine Falle versteckt. Konkret steckt sie in der Formulierung "unter Beachtung des Funktionsgraphen". Den stärksten Anstieg oder das stärkste Gefälle hat eine Funktion in ihren Wendepunkten. Die zweite Ableitung der Funktion hat jedoch keine Nullstelle, weil die Cosinus-hyperbolicus-Funktion keine Nullstelle hat. Die Funktion hat also keine Wendepunkte. Daher muss der Punkt mit dem stärksten Gefälle einer der Randpunte sein. Aus der Abbildung erkennst du, dass es der Startpunkt ist.

Für die Steigung am Startpunkt gilt:$$m=f'(0)=\frac12\sinh\left(-\frac95\right)\approx-1,4711$$Das entspricht einer Steigung / Gefälle von:$$\alpha_{\text{max}}=\arctan(-1,4711)\approx-55,79^\circ\quad\checkmark$$

Comments

Ich denke nicht, dass $\sinh$ und $\cosh$ auf dem Lehrplan des (deutschen) Abiturs stehen...

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Ich habe die Funktionen in der Schule gelernt. Das war allerdings in den 80er-Jahren, als das Abitur noch eine Hochschulbefähigung war. Heutezutage ist es ja nur noch eine formale Hochschulberechtigung.

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Das war in jener Zeit irgendwie schon ein Thema. Ich studierte damals nahe der Grenze zur BRD, und die Kommilitonen mit Abitur statt Matura waren überdurchschnittlich rasch und häufig wieder weg nach den Zwischenprüfungen. An einer fremden Muttersprache kann es nicht gelegen haben.

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Ich habe meine Lösung eigentlich nur geschrieben, weil in den anderen 3 Lösungen niemand auf die Hyperbel-Funktion hingewiesen hatte. Stattdessen wurde zu intensiver Term-Gymnastik mit e-Funktionen geraten.

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Gymnasium kommt ja von Gymnastik. Man hat uns in einem Gymnasium mal erzählt, das sei weil die Jugend in der Antike beim Sport nur spärlich bekleidet gewesen sei. Altgriechisch γυμνός gymnos, deutsch "nackt".

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Dann passt die Bezeichnung "Gymnasium" ja auch gut in die heutige Zeit.

Der Geist der Absolventen ist quasi "nackt" ;)

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Ich habe meine Lösung eigentlich nur geschrieben, weil in den anderen 3 Lösungen niemand auf die Hyperbel-Funktion hingewiesen hatte

Aus gutem Grund... Und Abitur aus den 80ern und heute ist ein meilenweiter Unterschied. Vergleiche mal Abituraufgaben der 80er mit denen heute. Das ist heute eher "Kindergarten".