Warum ist \frac{1}{2} *( 3^{k+1} −3)+ 3^{k+1} = \frac{1}{2} *( 3^{k+2} -3)?

Question

Aufgabe:

Warum ist \( \frac{1}{2} \)*(\( 3^{k+1} \)−3)+\( 3^{k+1} \) = \( \frac{1}{2} \)*(\( 3^{k+2} \)-3)  ?

Problem/Ansatz:

Was sind die Rechenschritte?

Comments

Löse mal die Klammern auf und verwende:

3^(k+1) = 3*3^k

Answer 1

 \( \frac{1}{2} \cdot( 3^{k+1} \)−3)+\( 3^{k+1} \)

= \( \frac{1}{2} \cdot 3^{k+1} −\frac{3}{2}+ 1 \cdot 3^{k+1} \)

= \( \frac{3}{2} \cdot 3^{k+1} −\frac{3}{2}\)

1/2 ausklammern

= \( \frac{1}{2} \cdot (3 \cdot 3^{k+1} −3) \)

= \( \frac{1}{2} \cdot ( 3^{k+2} -3)  \)

Comments

Die wird die Klammer erstmal ausmultipliziert, um nachher wieder auszuklammern?

Das geht also durchaus auch etwas geschickter.

1/2·(3^(k + 1) - 3) + 3^(k + 1)
= 1/2·(3^(k + 1) - 3 + 2·3^(k + 1))
= 1/2·(3·3^(k + 1) - 3)
= 1/2·(3^(k + 2) - 3)

Answer 2

\(\frac{1}{2} *( 3^{k+1} −3)+ 3^{k+1} = \frac{1}{2} *( 3^{k+2} -3)\) | beide Seite *2

\((3^{k+1} −3)+ 2(3^{k+1}) =3^{k+2} -3\) | Klammern weglassen und Produkt neu schreiben

\(3^{k+1} −3+ 3^{k+1}+ 3^{k+1} =3^{k+2} -3\)  | +3

\(3^{k+1}+ 3^{k+1}+ 3^{k+1} =3^{k+2}\)

jetzt kann man es erkennen.

Answer 3

1/2*(3*3^k-3) + 3*3^k

3/2*3^k-3/2 + 3*3^k

9/2*3^k -3/2

1/2*(3^2*3^k-3)

1/2*(3^(k+2) -3)