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Umkehrfunktion von f (x)=x^2+4x+3
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Indem man nach x auflöst:

f ( x ) = y = x 2 + 4 x + 3

<=> y + 1 = x 2 + 4 x + 4

<=> y + 1 = ( x + 2 ) 2

<=> x + 2 =  ±√ ( y + 1 )

<=> x = - 2 ± √ ( y + 1 )

und dann x und y vertauscht:

=> y = - 2 ± √ ( x + 1 )

Dies ist jedoch keine Funktion im mathematischen Sinne, da jedem x wegen des ± vor der Wurzel zwei Werte zugeordnet werden und nicht, wie es bei Funktionen sein müsste, ein Wert. In der Parabel, die durch die urspürngliche Funktion dargestellt wird, gibt es eben zu jedem Funktionswert y zwei Stellen x , an denen dieser angenommen wird.  Die Parabelfunktion ist daher nicht überall eindeutig umkehrbar, sondern nur in zwei Berecihen, nämlich im Bereich links vom Scheitelpunkt und im Bereich rechts vom Scheitelpunkt. 

Deshalb muss man die Umkehrfunktion aufspalten:

y1 = - 2 - √ ( x + 1 )

y2 = - 2 + √ ( x + 1 )

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Ich hab das jetzt so gerechnet, sag bitte was ich falsch gemacht hab: F (x)=x^2+4x+3 y= x^2+4x+2-2+3 y=(x+2)^2+3 y= (x-2)^2+3 y-3=(x+2)^2 x+2=Wurzel y-3 x= -2+- Wurzel y-3 Tauschen der variablen Y=-2+-Wurzel x-3

F (x)=x2+4x+3

y= x2+4x+2-2+3

Das rot Markierte ist nicht die richtige quadratische Ergänzung.  Um die quadratische Ergänzung zu bestimmen, dividiert man den Koeffizienten des linearen Gliedes ( hier: 4 ) durch 2 und quadriert das Ergebnis. Die richtige quadratische Ergänzung ist also : ( 4 / 2 ) 2 = 4 und diese Zeile hätte daher
y= x2+4x+4-4+3 lauten müssen.

y=(x+2)2+3

Hier hast du dein Ergebnis aus der vorhergehenden Zeile falsch zusammengefasst. Da aber dein Egebnis selbst falsch war und dieser zweite Fehler den ersten gerade aufhebt, ist zumindest der grün markierte Ausdruck richtig. Statt + 3  hätte jedoch - 1 stehen müssen.

y= (x-2)2+3

Wo du hier jetzt plötzlich das Minus-Zeichen hernimmst, ist mir schleierhaft (Tippfehler?) In der nächsten Zeile steht dann richtigerweise wieder ein Plus-Zeichen ...

Die weiteren Umformungen sind richtig, allerdings ist das Ergebnis wegen des zuletzt bemängelten Fehlers ( statt + 3 hätte - 1 stehen müssen) falsch.

Danke!!! Aber noch eine Frage wie zeichne ich jetzt f(x) und die Umkehrfunktion in ein Koordinatensystem ein?

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