warum hat diese Funktion keine Nullstellen?

Question

Text erkannt:

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline & d) & $f(x)=x^{2}-6 x+9$ \\
\hline & d) & $f(x)=x^{6}-x^{4}$ \\
\hline & f) & $f(x)=3\left(x^{2}+4\right)\left(x^{2}-4 x+10\right)$ \\
\hline
\end{tabular}

Aufgabe:

Kann mir jemand erklären warum diese Funktion keine Nullstellen hat?

…

Problem/Ansatz:

Comments

Du hast nicht gesagt, welche.

Answer 1

Weil weder (x²+4) noch (x²-4x+10) Nullstellen haben.

Bei x²+4 dürfte das klar sein, bei (x²-4x+10) kannst du ja mal versuchen, die Nullstellen mit pq-Formel oder quadratischer Ergänzung zu berechnen.

Answer 2

x²-6x+9= 0

(x-3)² = 0

x= 3

x⁶-x⁴ =0

x⁴(x²-1) = 0

Satz vom Nullprodukt:

x= 0 v x= +-1

3(x²+4)(x²-4x+10)

x²-4x+10 = 0

pq-Formel:

x1/2 = 2+-√(4-10)

Weil die Wurzel negativ ist, gibt es keine Lösung in R.

Es ist eine Parabel, Scheitel S:

x²-4x+2²-2²+10 = (x-2)² +6  -> S(2/6) Der Scheitel liegt oberhalb der x-Achse, die Parabel ist nach oben offen

x²+4 ist immer >0 wegen des Quadrates von x.

Answer 3

Aloha :)

Die (d) und (e) haben Nullstellen:$$f(x)=x^2-6x+9=(x-3)^2\implies x_0=3$$$$f(x)=x^6-x^4=x^4(x^2-1)=x^4(x-1)(x+1)\implies x_0=0\;;\;x_1=1\;;\;x_2=-1$$Bei Teil (f) sind beide Klammern für alle $x\in\mathbb R$ postiiv:$$\underbrace{x^2}_{\ge0}+4\ge4$$$$x^2-4x+\pink{10}=(x^2-4x\pink{+4})\pink{+6}=\underbrace{(x-2)^2}_{\ge0}+6\ge6$$Daher gilt für die Funktion:$$f(x)=3(x^2+4)(x^2-4x+10)\ge3\cdot4\cdot6=72$$