Vektoren, Dimensionen, Vektorräume

Question

Aufgabe:

Aufgabe 8
Gegeben seien die Vektoren
$\vec{u}_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right), \quad \vec{u}_{2}=\left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \vec{u}_{3}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right) .$
(a) Geben Sie die Dimension der linearen Hülle von $\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}$ und $\vec{u}_{3}$, also $\operatorname{dim}\left(\operatorname{LH}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\}\right)$, mit einer kurzen Begründung an.
(b) Welches geometrische Objekt stellt $\operatorname{LH}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\}$ dar? Geben Sie zwei zugehörige Parameterdarstellungen an.
(c) Gegeben seien die Vektoren $\vec{a}=(10,0,8)$ und $\vec{b}=(2,-11,-1)$. Gilt $\vec{a} \in \operatorname{LH}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\}$ ? Gilt $\vec{b} \in \operatorname{LH}\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\right\}$ ?
(d) Gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren $\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} \in \mathbb{R}^{3}$. Jemand behauptet, dass dann $\operatorname{LH}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}=\mathbb{R}^{3}$ gilt. Ist diese Behauptung wahr oder falsch? Begründen Sie!

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wir rechnen eventuell vorhandene lineare Abhängigkeiten der Vektoren $\vec u_1,\vec u_2,\vec u_3$ untereinander mittels elementarer Spaltenoperationen heraus.$$\begin{array}{rrr} & -6S_1 & -5S_1\\\hline1 & 6 & 5\\2 & 2 & 5\\1 & 4 & 4\end{array}\to\begin{array}{rrr} & -2S_3 & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & 0\\2 & -10 & -5\\1 & -2 & -1\end{array}\to\begin{array}{rrr} \vec b_1 & & \vec b_2\\\hline1 & 0 & 0\\2 & 0 & 5\\1 & 0 & 1\end{array}$$

Die lineare Hülle der drei Vektoren kann also durch eine 2-dimensionale Basis ausgedrückt werden. Die Dimension der linearen Hülle ist also gleich $2$.

zu b) Die Lineare Hülle stellt eine Ebene dar. Mögliche Darstellungen sind:$$E\colon\vec x=s\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}6\\2\\4\end{pmatrix}\quad;\quad E\colon\vec x=\lambda\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}$$

zu c) Hier wählen wir am einfachsten die Basisvektoren $\vec b_1$ und $\vec b_2$ für die Prüfung, ob die beiden Vektoren in der Linearen Hülle liegen.

$$\begin{pmatrix}10\\0\\8\end{pmatrix}\stackrel?=\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\implies\text{keine Lösung}$$Wegen der 1-ten Koordinate muss $\lambda=10$ gelten. Dann muss wegen der 2-ten Koordinte $\mu=-5$ gelten. Dann ergibt die 3-te Koordinate aber $5$ und nicht $8$. Der Vektor liegt also nicht in der linearen Hülle.

$$\begin{pmatrix}2\\-11\\-1\end{pmatrix}\stackrel?=\lambda\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}0\\5\\1\end{pmatrix}\implies \lambda=2\;\land\;\mu=-3$$Wegen der 1-ten Koordinate muss $\lambda=2$ gelten. Dann muss wegen der 3-ten Koordinte $\mu=-3$ gelten. Dann ergibt die 2-te Koordinate tatsächlich $(-11)$. Der Vektor liegt also in der linearen Hülle.

zu d) Drei linear unabhängige Vektoren im $\mathbb R^3$ spannen ein 3-dimensionales Volumen $\ne0$ auf, sie bilden also eine Basis des $\mathbb R^3$.

Comments

Dankeschön :)

Answer 2

a)     0,5u1 +2u2=u3     Also dim=2.

b) Ebene durch (0,0,0)

$\vec{x} = s\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} 6 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right)$

oder $\vec{x} = s\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)+t\left(\begin{array}{l} 5 \\ 5 \\ 4 \end{array}\right)$

c) Nach meiner Rechnung kann man beide nicht als Linearkombination

der drei darstellen.

d) ist wahr, Je drei lin. unabh. Vektoren von R³ bilden eine Basis von R³.