Weisen Sie durch Integration die bekannte Formel zur Berechnung des Körpervolumens nach

Question

Aufgabe:

Weisen Sie durch Integration die bekannte Formel zur Berechnung des Körpervolumens nach.

a) Zylinder, V= pi*r²*h

b) Kegel, V= 1/3*pi*r²*h

c) Kugel, V= 4/3*pi*r³

Problem/Ansatz:

Hallo, wir haben letztens im Unterricht mit Rotationskörpern angefangen und diese Aufgabe bekommen. a) habe ich hingekriegt aber irgendwie tu ich mir bei b) und c) etwas schwer…

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Wenn du eine Funktion $f(x)$ im Intervall $x\in[a;b]$ um die x-Achse rotierst, entsteht an jeder Stelle $x$ ein Kreis, dessen Mittelpunkt auf der x-Achse liegt. Der Radius dieses Kreises ist gleich dem Funktionswert, also $r=f(x)$. Dann ist die Fläche dieses Kreises $\pi\,r^2=\pi\,f^2(x)$. Das Volumen des entstehenden Rotationskörpers erhältst du, indem du die Fläche aller dieser Kreise entlang der x-Achse summierst:$$V=\int\limits_{x=a}^b\pi\,f^2(x)\,dx$$

zu a) Zylinder

Rotiere die konstante Funktion $f(x)=r=\text{const}$ im Intervall $x\in[0;h]$ um die x-Achse:$$V=\int\limits_{x=0}^h\pi\,r^2\,dx=\pi\,r^2\int\limits_{x=0}^hdx=\pi\,r^2\left[x\right]_{x=0}^h=\pi\,r^2h$$

zu b) Kegel

Rotiere die Ursprungs-Gerade $f(x)=\frac rh\,x$ im Intervall $x\in[0;h]$ um die x-Achse:$$V=\int\limits_{x=0}^h\pi\left(\frac rh\,x\right)^2\,dx=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\int\limits_{x=0}^hx^2dx=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^h=\pi\,\frac{r^2}{h^2}\cdot\frac{h^3}{3}=\frac13\pi\,r^2h$$

zu c) Kugel

Die zu rotierende Funktion $f(x)$ ist hier nicht sofort klar. Die Idee ist, dass wir einen Viertelkreis um die x-Achse rotieren. Das liefert und das Volumen einer Halbkugel. Das Ergebnis vedoppeln wir am Ende.

Für Punkte $(x;y)$ auf einem Kreis mit Radius $r$ gilt nach Pythagoras:$$x^2+y^2=r^2\quad\implies\quad y^2=r^2-x^2$$Der Viertelkreis rechts oben im ersten Quadranten wird also beschrieben durch:$$f(x)=\sqrt{r^2-x^2}\quad;\quad x\in[0;r]$$Damit können wir das Integral formulieren:$$V=2\cdot\int\limits_{x=0}^r\pi(r^2-x^2)dx=2\pi\left[r^2x-\frac{x^3}{3}\right]_{x=0}^r=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac43\pi\,r^3$$

Comments

indem du die Fläche aller dieser Kreise summierst

Das ergibt eine ziemlich große Fläche.

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Vielen Dank!

Answer 2

b) Betrachte die Gerade $y=-\frac{r}{h}x +r$. Eine Skizze hilft.

c) Hier lautet die Funktion $y=\sqrt{r^2-x^2}$.

Answer 3

Für die b) benötigst du als rotierende Funktion eine Gerade, bei der du die Steigung aus den Kegelparametern bestimmen musst. Mach dir dazu am besten mal eine Skizze, dann kommst du schnell drauf.

Für die c) musst du wissen, dass die Funktion zur Beschreibung eines Kreises

$r^2=x^2+y^2$

lautet. Wenn du das ganze nach y auflöst und die negative Lösung vernachlässigst erhältst du die Funktion für den Halbkreis:

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

Das kannst du jetzt wieder in die bekannte Formel für den Rotationskörper einsetzen und integrieren.

Answer 4

b) könnte dabei wie folgt aussehen