Wie beweise ich die Linksdistributivität bei Matrizen`?

Question

Hallo. Ich soll folgenden Satz beweisen. Hat jemand nen Tipp?

SATZ 2.10 (Linksdistributivität der Matrizenmultiplikation). Seien $k, l, m \in \mathbb{N}$, und seien $A \in \mathbb{R}^{k \times l}, B, C \in \mathbb{R}^{l \times m}$. Dann gilt
$A \cdot(B+C)=(A \cdot B)+(A \cdot C) .$

Answer 1

Du musst ja nur zeigen, dass für alle sinnvollen Indexpaare (i,j) bei

den Matrizen $A \cdot(B+C)$   und $(A \cdot B)+(A \cdot C)$ der gleiche Wert steht.

Bei $A \cdot(B+C)$ steht an der Stelle i,j das Skalarprodukt

der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B+C, also

$\sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot (b_{u,j}+c_{u,j})$

Bei $(A \cdot B)+(A \cdot C)$ steht an der Stelle i,j die Summe

der Skalarprodukte   i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von B

plus   i-te Zeile von A mit der j-ten Spalte von C, also

$\sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot b_{u,j} + \sum \limits_{u=1}^k a_{i,u} \cdot c_{u,j}$

= $\sum \limits_{u=1}^k (a_{i,u} \cdot b_{u,j} + a_{i,u} \cdot c_{u,j} )$

= $\sum \limits_{u=1}^k (a_{i,u} \cdot (b_{u,j} +c_{u,j} ))$   q.e.d.