Transivität beweisen

Question

Aufgabe:

R(a,b),(c,d):⇔ ad = bc Zeigen Sie, dass die Relation R eine transitiv ist

Problem/Ansatz:

Ich komme auf

ad=bc

cf=de

af=be

Kann aber keine direkt Beziehung zwischen der 1 und 2 Bedingung zu erstellen um auf die 3. Bedingung zu schließen. Kann mir jemand bitte zeigen, wie man hier die Transivität beweist?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

R(a,b),(c,d):⇔ ad = bc

ad = bc kannst du fast immer schreiben als a/b = c/d.

Den Fall, dass b und/oder d gleich 0 sind, musst du separat betrachten.

Aus a/b = c/d und c/d=e/f folgt auch  a/b = e/f.

Answer 2

R sollte wohl kommutativ und nullteilerfrei sein. Außerdem wird bei dieser Relation üblicherweise verlangt, dass $b,d,f \neq 0$.

Dann hast du:

$ad = bc \Rightarrow a{\color{blue}d}f = bcf \stackrel{cf=de}{=}b{\color{blue}d}e$

$\stackrel{kommutativ}{\Longrightarrow} (af-be){\color{blue}d} = 0\stackrel{nullteilerfrei}{\Longrightarrow}af=be$