Zeigen Sie: Die Eigenschaften Symmetrie, Reflexivität...

Question

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Aufgabe 1.1 (Beweis durch Gegenbeispiel). Zeigen Sie: Die Eigenschaften Symmetrie, Reflexivität und Transitivität einer Äquivalenzrelation sind unabhängig voneinander. Zeigen Sie dafür: Es gibt Relationen $\sim_{1}, \sim_{2}, \ldots, \sim_{7}$ über den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ oder einer endlichen Teilmenge davon, die entsprechend die Eigenschaften aus der folgenden Tabelle haben.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
Relation & Symmetrie & Reflexivität & Transitivität \\
$\sim_{1}$ & $\times$ & $\times$ & $\checkmark$ \\
$\sim_{2}$ & $\times$ & $\checkmark$ & $\times$ \\
$\sim_{3}$ & $\times$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ \\
$\sim_{4}$ & $\checkmark$ & $\times$ & $\times$ \\
$\sim_{5}$ & $\checkmark$ & $\times$ & $\checkmark$ \\
$\sim_{6}$ & $\checkmark$ & $\checkmark$ & $\times$
\end{tabular}

Problem/Ansatz: ich brauche Hilfe danke

Comments

Bei der Aufgabe geht es insbesondere darum, sich mit der Definition der Eigenschaften auseinanderzusetzen und mal Beispiele zu konstruieren. Kennst du keine Relation auf den natürliche Seiten Zahlen? Oder kannst du keine konstruieren und dann die Eigenschaften prüfen? Zu mindestens einen der Fälle solltest du doch etwas finden können.

Answer 1

Für ~1 wäre z.B. die <-Relation geeignet.