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Aufgabe: Wie kommt man auf das Ergebnis „1/2“. ? Also ich weiß nicht mit welcher Formel man hier vorgeht.


Problem/Ansatz: Wie geht man hier vor? IMG_3120.jpeg

Text erkannt:

(c) Es seien X1,X2, X_{1}, X_{2}, \ldots unabhängig und identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter π=12 \pi=\frac{1}{2} . Es sei die Summe
Zn : =1ni=1n(Xi12) Z_{n}:=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{2}\right)
gegeben.
(i) Bestimmen Sie limnP(Zn0) \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right) .
(2 Punkte)

IMG_3122.jpeg

Text erkannt:

(i) Mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace ergibt sich limnP(Zn0)=12 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right)=\frac{1}{2} .

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Schlag nach, was der Satz von Moivre-Laplace aussagt.

Die Summe unabhängig identisch bernoulli-verteilter ZV ist binomialverteilt mit Parameter nn und pp. Weiterhin gilt limnP(Snμσt)=Φ(t)\lim_{n\rightarrow \infty} P(\frac{S_n-\mu}{\sigma}\leq t)=\Phi(t) für alle tRt\in\mathbb{R}. Jetzt gilt aber gerade Zn=SnμσZ_n=\frac{S_n-\mu}{\sigma} (warum?), so dass du nur wissen musst, was Φ(0)\Phi(0) ist.

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