Was muss man hier machen?

Question

Aufgabe: Wie kommt man auf das Ergebnis „1/2“. ? Also ich weiß nicht mit welcher Formel man hier vorgeht.

Problem/Ansatz: Wie geht man hier vor?

Text erkannt:

(c) Es seien $X_{1}, X_{2}, \ldots$ unabhängig und identisch Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter $\pi=\frac{1}{2}$. Es sei die Summe
$Z_{n}:=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum \limits_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\frac{1}{2}\right)$
gegeben.
(i) Bestimmen Sie $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right)$.
(2 Punkte)

Text erkannt:

(i) Mithilfe des Satzes von Moivre-Laplace ergibt sich $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} P\left(Z_{n} \geq 0\right)=\frac{1}{2}$.

Answer 1

Schlag nach, was der Satz von Moivre-Laplace aussagt.

Die Summe unabhängig identisch bernoulli-verteilter ZV ist binomialverteilt mit Parameter $n$ und $p$. Weiterhin gilt $\lim_{n\rightarrow \infty} P(\frac{S_n-\mu}{\sigma}\leq t)=\Phi(t)$ für alle $t\in\mathbb{R}$. Jetzt gilt aber gerade $Z_n=\frac{S_n-\mu}{\sigma}$ (warum?), so dass du nur wissen musst, was $\Phi(0)$ ist.