Untervektorraum mit Durchschnitt und Vereinigung

Question

Aufgabe:

U und W seien Untervektorräume von V über K. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.
(a) U ∩ W ist ebenfalls ein Untervektorraum von V .
(b) U ∪ W ist ein Untervektorraum von V ⇔ U ⊆ W oder W ⊆ U .

Problem/Ansatz:

Klar ist, dass ich hier zeigen muss, dass Addition und Multiplikation möglich sind, wie mache ich dass jedoch, wenn ich nur den Durchschnitt oder die Vereinigung haben möchte? Außerdem wieß ich nicht wie ich es mathematisch beweisen soll, wenn nicht direkt eine Menge gegeben ist.

Answer 1

Seien \(v,v'\in U\cap W\). Dann sind \(v,v'\in U\) laut Definition von \(\cap\) und somit \(v+v'\in U\) weil \(U\) ein Vektorraum ist.

Ergänze das zu einer Begründung, dass \(v+v'\in U\cap W\) ist.

Ebenso musst du zeigen, dass \(\alpha \cdot v\in U\cap W\) für alle \(c\in K\) ist.

Außerdem musst du noch zeigen, dass \(U\cap W\neq \emptyset\) ist. Das kannst du machen indem du ein konkretes Element von \(U\cap W\) angibst.

Answer 2

Zu b): Du musst hier die Richtungen \(\Rightarrow\) und \(\Leftarrow\) zeigen. Letztere Richtung ist trivial, da aus der Teilmengeneigenschaft folgt, dass die Vereinigung entweder \(U\) oder \(W\) selbst ist und damit ein UVR. Für die Richtung \(\Rightarrow\) bietet sich ein Widerspruchbeweis an. Das heißt, du nimmst an, dass die Teilmengenbeziehung nicht gilt und folgerst daraus, dass die Vereinigung kein UVR sein kann. Betrachte dazu Elemente \(u\in U\setminus W\) und \(w\in W\setminus U\) und zeige, dass die Summe dieser beiden Elemente weder in \(U\) noch in \(W\) liegt (setze zum Beispiel \(w=(u+w)-u\) und schlussfolgere, was das für \(w\) bedeutet).